Überprüfung auf lineare Unterräume

Question

Hallo, ich soll auf lineare Unterräume überprüfen, leider komme ich bei diesen beiden Aufgaben einfach nicht weiter. Ich würde mich über eine Erklärung sehr freuen!

\( U_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=0\right\} \)

\( U_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1\right\} \)

Answer 1

U2 ist sicher keiner, da der 0-Vektor nicht drin ist.

Und bei U1 musst du ein Unterraumkriterium anwenden.

Vielleicht hattet ihr ja sowas wie

https://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum#Untervektorraum

Du musst also die 3 Dinge prüfen

1. nicht leer, weil der Nullvektor drin ist; denn für

(0;0;0;0) ist die Gleichung erfüllt.

2. Wenn sie für (a;b;c;d) und für (e;f;g;h) erfüllt

ist, dann kannst du nachrechnen auch für deren Summe.

und 3. entsprechend.