E1=((x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x1+x2+x3+x4=0)
E2=((x1,x2,x3,x4) ausR^4 , x1=x2=0)
E3=(x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x3=x4=0)
E4=((x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x1<=0)
E5=Q^4
Sind E1,E2,E3,E4;E5 lineare Unterräume vom R-Vektorraum R^4?
E1,E2,E3 sind lineare Unterräume von R^4.
Sie enthalten alle den Punkt (0,0,0,0) und linearkombinationen von beliebigen Elementen aus diesen Ei geben wieder Elemente aus Ei.
E4 nicht.
Begründung:
E4: (-2,3,4,5) Element E4 aber zB (-2)(-2,3,4,5) = (4,-6,-8,-10) nicht Element E4
E5 definitionsanhängig. Es kommt drauf an, ob der skalare Faktor nur noch aus Q stammen darf.
Dann ja. Das wäre dann ein Q-Vektorraum, kein R-Vektorraum.
Wenn aber als skalare Faktoren alle Zahlen in IR zugelassen sind nicht: Bsp. (1,2,3,4) in Q^4 und √2(1,2,3,4,) = (√2, 2√2, 3√2, 4√2) nicht in Q^4.
Skalare Faktoren müssen aus einem Körper stammen. (vgl https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum ) Das wäre bei Q und IR erfüllt. Aber nicht bei zB IR-. Daher E4 sicher nicht E5 eher schon.
Berechnen Sie E2∩E3 = {(x1,x2,x3,x4) aus R^4, x1=x2=0 und x3=x4=0} = {(x1,x2,x3,x4) aus R^4, x1=x2= x3=x4=0} ={(0,0,0,0)}
