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Der Kugel wirkt die Gravitation entgegen, von der konstanten Geschwindigkeit \(v_0\) nach oben wird eine mit der Zeit \(t\) wachsende Geschwindigkeit \(g\cdot t\) subtrahiert, wobei \(g\) die Fallbeschleunigung von \(9,81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\) ist. Nach der Zeit \(t\) hat die Kugel also die Geschwindigkeit:$$v(t)=v_0-g\cdot t$$Wenn die Kugel von der Höhe \(h=0\) abgeschossen wird, beträgt daher die Höhe nach der Zeit \(t\):$$h(t)=\int\limits_0^t v(\tau)\,d\tau=\left[v_0\tau-\frac{1}{2}g\tau^2\right]_{\tau =0}^t=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$Nun können wir ausrechnen, wann die \(320\,\mathrm m\) an Höhe erreicht sind:
$$\left.v_0t-\frac{1}{2}gt^2=320\quad\right|-320$$$$\left.-\frac{1}{2}gt^2+v_0t-320=0\quad\right|\cdot\left(-\frac{2}{g}\right)$$$$\left.t^2-\frac{2v_0}{g}t+\frac{2\cdot320}{g}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$t_{1;2}=\frac{v_0}{g}\pm\sqrt{\left(\frac{v_0}{g}\right)^2-\frac{640}{g}}=\frac{200}{9,81}\pm\sqrt{\left(\frac{200}{9,81}\right)^2-\frac{640}{9,81}}$$
Wir erhalten \(t_1=1,668\,\mathrm s\) und \(t_2=39,11\,\mathrm s\). Die Kugel erreicht die \(320\,\mathrm m\) Höhe zwei Mal, einmal beim Aufsteigen und dann wieder beim Runterfallen.
