Stetigkeitspunkte von Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Stetigkeitspunkte bestimmen.

f : R → R, x ↦ { 5x+15/6-x-x² falls x ∉ (-3,2) ; 1 sonst.

Dies soll man bezüglich des Häufungspunktes x₀ machen. Ist x₀ Häufungspunkt von D, so ist f genau dann stetig, in x₀, wenn lim(x→x₀) f(x) = f(x₀) gilt.

Problem/Ansatz:

Comments

Deine Funktion setzt sich aus stetigen Funktionen zusammen. Kritisch sind nur die die Stellen -3 und 2. In diesen solltest du prüfen, ob deine Funktion stetig ist. Das kannst du am besten über das Folgenkriterium für stetifkeit lösen, in dem du dir anschaust für eine Folge an, die von links gegen deine Stelle konvergiert und für eine Folge bn die von rechts gegen deine Stelle konvergiert, ob links und rechtssetiger Grenzwert übereinstimmen und sie dem Funktionswert f an der stelle entsprechen. Wenn du die Unstetigkeit zeigen möchtest, kannst du einfach die zwei Folgen aussuchen für die das nicht gilt und wenn du denkst sie ist stetig, dann zeigst du das über zwei allgemeine FOlgen.

Ein anderer Weg um die Stetigkeit in deinen zwei Punkten zu zeigen, ist die Definition von stetigkeit anzuwenden. Für Unstetigkeit bietet sich aber auf jeden Fall oftmals das Folgenkritierum mehr an als die Definitition.

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Danke für die Antwort. Könntest du vielleicht noch konkreter zeigen, wie man vorgeht?

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Vielleicht erstmal zu beginn. Deine Funktion ist eine gebrochenrationale Funktion, das heißt du kannst die partialnruchzerlegung anwenden. Jetzt ist das schöne an der Funktion, du hast bereits deine zwei Nullstellen für das Polynom im Nenner gegeben und wenn du es jetzt faktorisierst mit deinen Nullstellen also (x+3)(x-2) entspricht das genau deinem Polynom im Nenner. Das ist jetzt super weil sich jetzt (5x+15) mit (x+3) rauskürzt und übrig bleibt 5/(x-2) jetzt nimmst du eine Folge -3+1/n kvgt gegen -3 und setzt sie für x ein, es folgt 5/(-3+1/n -2) konvergiert aber offensichtlich gegen -1 dass ist aber nicht identisch zu f(5)=1 per Definition deiner Funktion also ist deine Funktion nicht stetig in -3 jetzt zeigst du das gleiche für die Stelle 2 :D

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Danke nochmal für die ausführliche Antwort. Aber wieso nimmst du f(5)? Woher kommt die 5?

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Sorry nicht 5 sondern - 3 :)

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Ich hänge gerade an der gleichen Aufgabe. Müsste nicht oben aber ((x+3)*5)/((x+3)*(x-2)*(-1)) stehen weil -x^2-x+6 nicht (x+3)*(x-2) sondern (-x-3)*(x-2) ist. Und Dementsprechend wäre

5/((x-2)*(-1)) doch dann 5/((-3-2)*(-1)), also 5/5 also 1. Und damit hätten wir doch gezeigt, dass die Funktion bei x=-3 wirklich 1 ist und damit ist sie dort auch stetig oder hab ich irgendwas komplett falsch verstanden? Denn ich verstehe nun auch nicht wie ich für x=2 vorgehe.

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Jaa stimmt - 1 vergessen. Also ja in -3 stetig und in 2 nimmst eine Folge und zeigst, dass sie dort nicht stetig ist.

Nimm einfach die Folge 2+1/n, setzte sie in deine Funktion ein und dann siehst du, dass sie gegen unendlich kvgz also nicht stetig ist