Warum ist (1-x)*Summe(n*xn)=x/(1-x)

Question

Warum gilt bei |x|<1:

(1-x)∑(n≥0)(n*x^n)=x /(1-x)

Comments

(1-x)∑(n≥0)(n*xⁿ)=x/(1-x)

Kommt in meinem Beweis so raus.

Answer 1

(1-x)∑(n≥0)(n*xⁿ)=1/(1-x)

= ∑(n≥0)(1-x)(n*xⁿ)

= ∑(n≥0)((n*xⁿ) - n*xⁿ⁺¹)

= 0*x⁰ - 0*x¹ + 1*x¹ - 1*x² + 2*x² - 2x³ + 3x³ - 3x⁴ + 4x⁵ - 4x⁵ + ...
= x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ ....

ist eine geometrische Reihe für |x| < 1 konvergiert sie gegen

x*(1/(1-x)) = x/(1-x) qed

Deine Summe hier ist ähnlich wie eine Teleskposumme.