Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Ableitung (Differenzenquotient) dass für f(x)=2x^2 gilt f'(x)=4x.

Question

vielleicht kann mir jemand von euch helfen, im Internet werde ich nicht richtig schlau.

die Aufgabe: zeigen mit Hilfe der Definition der Ableitung (differenzquotient), dass für f(x)=2x^2 gilt f'(x)=4x.

ich steh da irgendwie auf dem Schlauch, ich weiß, dass für x^2 die Ableitung 2x ist und dementsprechend für

2x^2  ist 4x die Ableitung. Ich weiß, dass es so ist, hab aber keine Idee wie ich das jetzt mathematisch korrekt beweisen soll.
Danke für die Hilfe.

Comments

Wie sieht eure Definition denn genau aus? Mit xo, h oder Delta? https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Definition

Das müsste man wissen. Und dann f(x) dort einsetzen und vereinfachen.

Answer 1

 

Differenzenquotient:

[f(x₀ + h) - f(x₀)] / [(x₀ + h) - x₀]

 

[2 * (x₀ + h)² - 2 * x₀² ] / h =

[2 * (x₀² + 2 * x₀ * h + h²) - 2 * x₀²] / h =

[2 * x₀² + 4 * x₀ * h + 2 * h² - 2 * x₀²] / h =

[4 * x₀ * h + 2 * h²] / h =

4 * x₀ + 2 * h

 

Grenzwert dieser Summe für h -> 0 ist 4x₀

 

Also f'(x) = 4x

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank erstmal.

Man hatte uns zwar acht versch. Formeln gegeben aber diese nicht.
Hier hast du dann anstatt f die 2 eingesetzt und berechnet. Muss mir das nochmal in Ruhe anschauen und Vorallem die Formel dick und Fett ins Heft schreiben.
Vielen Dank nochmal. Hast mir echt sehr geholfen.

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Freut mich sehr, wenn ich ein wenig helfen konnte :-)

Ich habe, um das nochmal zusammenzufassen, die "y-Differenz" durch die "x-Differenz" geteilt:

Die Strecke zwischen C und B entspricht dem "h" in meiner Berechnung; dieses wird beliebig klein, und dadurch wird auch das Steigungsdreieck beliebig klein und das Ergebnis deshalb immer genauer.

Die untersuchte Funktion war f(x) = 2x², und genau diese habe ich eingesetzt - daher die "2" :-)

 

Besten Gruß