Sinus, Kosinus, Nullstellen und verhalten

Question

Aufgabe:

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AUFGABE 1: Die Funktionen
cosh \( : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \quad \) Cosinus hyperbolicus
$$ \sinh : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \quad \text { Sinus hyperbolicus } $$
sind definiert durch
$$ \begin{aligned} \cosh (x) &:=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right) \\ \sinh (x) &:=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \end{aligned} $$
a) Zeigen Sie für \( x, y \in \mathbb{R} \)
$$ \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1 $$
b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen \( \sinh (x) \) und \( \cosh (x) \).
c) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen \( \sinh (x) \) und \( \cosh (x) \) für \( x \rightarrow \pm \infty \)

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) habe ich relativ leicht gelöst, wie mache ich Aufgabe b) und c) kann mir jemand dazu kurz ein Ansatz geben? :)

Answer 1

Hallo Furkan,

Nullstellen findet man, indem man die Funktion zu 0 setzt. Hier$$\sinh(x) = 0$$bzw.$$\frac 12 \left( e^x - e^{-x}\right) = 0$$Substituiere \(e^x = z\), dann wird daraus$$\begin{aligned} \frac 12\left( z - z^{-1}\right) &= 0 &&|\, \cdot 2z \\ z^2 - 1 &= 0 \\ \implies z_{1,2} &= \pm 1\end{aligned}$$Daraus folgt dann \(x_1=0\). Die Lösung \(z_2=-1\) enfällt, da \(e^x\) nie negativ wird.

Schau Dir die Graphen an

~plot~ cosh(x);sinh(x) ~plot~

Der \(\cosh\) hat keine Nullstelle im Reellen.

Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen \( \sinh (x) \) und \( \cosh (x) \) für \( x \rightarrow \pm \infty \)

Für \(x \to +\infty\) wird der Term \(e^{-x}\) zu \(0\). Folglich ist$$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x + e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \to \infty \\ \lim_{x \to +\infty} \sinh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x - e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \to \infty $$ Für \(x \to -\infty\) wird der Term \(e^{x}\) zu \(0\). Das schaffst Du jetzt selber.

Am Beispiel von \(\cosh(x)\) sieht das so aus

~plot~ cosh(x);(1/2)*e^x;[[-9|9|-1|12]] ~plot~

Der Graph von \(\cos(x)\) (blau) nähert sich für \(x \to +\infty\) dem Graphen von \(e^x\) (rot) an.

Comments

Ist ja auch einfach :D wie sieht es mit c) aus?

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wie sieht es mit c) aus?

habe ich hinzu gefügt (s.o.)

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Wird dann nicht bei  - unendlich  die Funktion gegen - unendlich laufen? oder bin ich gerade auf dem falschen Weg

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Wird dann nicht bei - unendlich die Funktion gegen - unendlich laufen? oder bin ich gerade auf dem falschen Weg

Ja klar - bei \(x \to +\infty\) laufen beide Funktionen gegen \(+\infty\). Ich meine, dass habe ich oben auch geschrieben:$$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x + e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \boxed{\to \infty} \\ \lim_{x \to +\infty} \sinh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x - e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \boxed{\to \infty}$$Sie laufen aber nicht 'irgendwie' gegen \(+\infty\), sondern nähern sich der Funktion \(\frac 12 e^x\) an, die ihrerseits für große \(x\) gegen \(\infty\) läuft.

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Ah, alles klar habe aber noch eine Frage zur Nullstelle sie haben mal 2 multipliziert und sind zu z^2-1 gekommen wie das? und wieso steht bei x1= 0

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sie haben mal 2 multipliziert und sind zu z²-1 gekommen wie das? und wieso steht bei x₁= 0

Ich hatte vorher \(e^x=z\) substituiert. Aus \(z^2-1=0\) folgt \(z_1=1\) als eine mögliche Lösung. Und weiter geht's mit (wenn man es formal macht)$$\begin{aligned} e^{x_1} &= z_1 = 1 &&|\, \ln \\ \ln\left( e^{x_1}\right) &= \ln(1) \\ x_1 \cdot \ln(e) &= 0 &&|\,\ln(e)=1 \\ x_1 &= 0\end{aligned}$$