Hallo,
es wäre einfacher, wenn Du uns mitteilst, wo genau Dein Problem ist.
Ein Eigenvektor \(e \ne \vec 0\) einer Matrix \(A\) ist ein Vektor, der durch eine Multiplikation mit \(A\) in ein Vielfaches \(\lambda\) seiner selbst umgewandelt wird. Formal$$A \cdot e = \lambda \cdot e$$Mal angenommen Du hast einen Spiegel im Raum. Der Spiegel liegt so, dass der Ursprung im Raumkoordinatensystem auf der Spiegeloberfläche liegt. Wenn man nun eine Position \(p\) betrachtet, die direkt über dem Ursprung liegt, dann steht der Ortsvektor \(p\) auch senkrecht zur Spiegeloberfläche und ist damit ein Normalenvektor.
Sei nun \(S\) die Abbildung, die die Spiegelung beschreibt, so ist das Bild \(p'\) von \(p\)$$p' = S \cdot p = (-1) \cdot p$$\(p\) wird als \(p'\) auf die andere Seite gespigelt. D.h. der Normalenvektor eines Spiegels ist auch ein Eigenvektor von \(S\) bzw. hier der Spiegelung und sein Eigenwert \(\lambda_\perp\) ist \(\lambda_\perp=-1\). Jeder Vektor, der auf der Spiegeloberfläche liegt, ist auch ein Eigenvektor der Spiegelung, da er durch diese nicht verändert wird. Sein Eigenwert ist daher \(\lambda_\parallel = 1\)
Stellt man die allgemeine Gleichung etwas um, dann bekommt man$$A \cdot e = \lambda \cdot e = \underline 1 \cdot \lambda \cdot e \\ \implies (A - \underline 1 \cdot \lambda) \cdot e = 0$$\(\underline 1\) ist die Einheitsmatrix. Da \(e \ne \vec 0\) ist die Gleichung nur zu lösen, wenn die Determinante der Matrix gleich 0 ist$$\det\left( A - \underline 1 \cdot \lambda \right) = 0$$In Deinem konkreten Fall heißt das $$\det \begin{pmatrix}3-\lambda& 2& 1\\ -1& 0-\lambda& 1\\ 1& 1& 0-\lambda\end{pmatrix} = 0 \\ \begin{aligned}\implies (3-\lambda)(-\lambda)^2 + 2 - 1 - (3-\lambda) -2\lambda + \lambda &= 0 \\ -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 2 &= 0 \\ -(\lambda - 1)(\lambda^2 - 2\lambda -2) &= 0\end{aligned}$$Daraus folgt \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_{2,3} = 1 \pm \sqrt 3\). Daraus kann man die Eigenvektoren berechnen. Setze dazu das \(\lambda_1=1\) in die Gleichung \((A - \underline 1 \lambda) \cdot e = 0\) ein$$\begin{pmatrix}3-1& 2& 1\\ -1& 0-1& 1\\ 1& 1& 0-1\end{pmatrix} \cdot e_1 = 0$$Das reduziert man am besten mittels Gaußschen Algorithmus und erhält$$e_1 = k\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} \quad k \in \mathbb R$$Da nur die Richtung eines Eigenvektors entscheidend ist, lässt man den Faktor \(k\) weg. Mit \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\) verfährt man genauso.
Das kannst Du Dir auch alles online rechnen lassen.
Gruß Werner
