Welcher Gewinn kann erwartet werden?

Question

Aufgabe:

Ein Spieler kann für einen Einsatz von 1 Euro eine der Zahlen von 1-6 tippen. Anschließend wirft er 3 un-terscheidbare Würfel. Wenn mindestens einer der Würfel die getippte Zahl zeigt, so erhält er seinen Einsatz zurück. Zusätzlich bekommt er pro Würfel, der seine getippte Zahl zeigt, einen Euro ausbezahlt.

Erscheint seine Zahl auf keinem Würfel, so verfällt sein Einsatz. Welcher Gewinn kann erwartet werden?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich muss diese Aufgabe als Hausaufgabe lösen und eigentlich hatte ich auch schon einen Ansatz(siehe Bild), doch irgendwie scheint mein Ansatz falsch zu sein, da bei den Wahrscheinlichkeiten als Summe ja immer 1 rauskommen muss, was bei mir nicht der Fall ist.

Könnte mir jemand eventuell helfen oder sagen, wo mein Denkfehler liegt.

Das wäre sehr lieb und ich danke jedem schon mal im Voraus :)  

Text erkannt:

3. Glück beim Würfeln (ndreifacher Würfelwurf")
Fin Snieler kann für einen Einsatz von 1 Euro eine der Zahlen von \( 1-6 \) tippen. Anschließend wirft er 3 untarecheidhare würfel Wenn mindestens einer der Würfel die getippte Zahl zeigt, so erhält er seinen Einsatz
Erscheint seine Zahl auf keinem Würfel, so verfallt sein Einsatz. Welcher Gewinn kann erwartet werden?
Einsatz \( \rightarrow \Lambda € \)
Sx wurfeln \( \rightarrow 216 \) mogluchicerten
\( x= \) Gewrinn in Euro
musste QOOn

Answer 1

Es gibt mehrere Möglichkeiten für z.B. einem Fehlwurf, nämlich \( \binom{3}{1} = 3 \) und so ergibt sich insgesamt $$ \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k} \left( \frac{5}{6} \right)^k\left( \frac{1}{6} \right)^{3-k} = 1 $$ wobei $$ \binom{3}{k} \left( \frac{5}{6} \right)^k\left( \frac{1}{6} \right)^{3-k}  $$ die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das \( k \) Würfel keinen Treffer haben.

Jetzt muss noch der Erwartungswert ausgerechnet werden.