Finite-Difference-Methode: Warum muss beim Ableiten von f^' (- f^'') mit 1/h multipliziert werden?

Question

Aufgabe:

Randwertprobleme: Finite-Difference-Methode im Kontext numerische Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen.

Problem/Ansatz:

Der dargestellte Rechenweg bringt mich zum korrekten Ergebnis für die jeweils erste und zweite Ableitung gemäß Vorlesung.

Nun jedoch die doofe Frage: warum muss beim Ableiten von f^' (-> f^'') mit 1/h multipliziert werden? Wir leiten doch nach x0 ab? Wird h hier ebenfalls als Variable gesehen oder ist es genau das weil es im Argument der Funktionen f vorkommt?

Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen.

Besten Dank!

Comments

Auflösung: es wird hier mit dem Differenzenquotienten gearbeitet. Die verwendete Darstellungsform lautet:

f'(x) = [f(x+h)-f(x)]/h

Dadurch erhält man die Steigung zwischen x und x+h. Für h->0 erhält man die Ableitung bei x; da jedoch doppelt abgeleitet wird bleibt h stehen und man erhält somit h^2 im Nenner.

Answer 1

Text erkannt:

Ich habe es mal gesplittet durchgerechnet:
\( y^{\prime}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \)
Vielleicht ist bei deinem Weg die 2. Ableitung mit der 1. Ableitung zusammengezogen worden. Bei der 2. Ableitung wird ja auch noch durch \( h \) dividiert. Dies könnte eine Erklärung dafür sein, dass durch \( h^{2} \) dividiert worden ist.
\( y=x^{4} \)
$$ \begin{array}{l} y^{\prime}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+h\right)^{4}-x_{0}^{4}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_{0}^{4}+4 \cdot x_{0}^{3} \cdot h+6 \cdot x_{0}^{2} \cdot h^{2}+4 \cdot x_{0} \cdot h^{3}+h^{4}-x_{0}^{4}}{h}= \\ =\lim \limits_{h \rightarrow 0}\left(4 \cdot x_{0}^{3}+6 \cdot x_{0}^{2} \cdot h+4 \cdot x_{0} \cdot h^{2}+h^{3}\right)=4 \cdot x_{0}^{3} \end{array} $$
2. Ableitung:
$$ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4 \cdot\left(x_{0}+h\right)^{3}-4 \cdot x_{0}^{3}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4 \cdot\left(x_{0}^{3}+3 x_{0}^{2} \cdot h+3 x_{0} \cdot h^{2}+h^{3}\right)^{3}-4 \cdot x_{0}^{3}}{h}= $$
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{12 x_{0}^{2} \cdot h+12 x_{0} \cdot h^{2}+4 h^{3}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0}\left(12 x_{0}^{2}+12 x_{0} \cdot h+4 h^{2}\right)=12 x_{0}^{2} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Comments

Die Frage, die ich mir stelle ist aber warum bei der 1. bzw. 2 Ableitung durch h dividiert wird? Das ist mir leider nicht klar..

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Leider bin ich auch am Ende meiner Möglichkeiten angelangt.

mfG

Moliets

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Auflösung siehe Kommentar; dennoch vielen herzlichen Dank!