Bestimmen sie eine Basis und die Dimension von U⊥

Question

Aufgabe: Bestimmen sie eine Basis und die Dimension von U⊥

Sei V = ℝ⁴ mit dem kanonischen Skalarprodukt und U = span{v₁,v₂}, wobei v₁= (1,0,3,2) und v₂= (1,-1,3,0).

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand helfen?

LG Blackwolf

Comments

Kennst du den Fachausdruck für das gestürzte T? Wenn du das als erstes Stichwort bei den Tags (und in Text und Überschrift) eingibst, sollte eigentlich die Rubrik "ähnliche Fragen" hilfreich sein.

Hier nun ein Beispiel als Anfang. https://www.mathelounge.de/364291/basis-zum-orthogonalen-komplement-u Dann von dort aus die "ähnlichen Fragen" konsultieren.

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Kannte ich vorher nicht, danke für dein Beispiel, ich arbeite mich gleich mal durch.

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Habe ich richtig verstanden, das mein orthogonales Komplement die Dimension 1 hat und ich dafür nur dieses LGS lösen muss?

1   0  3  2

1 - 1  3  0

Danke übrigens noch für die Antwort.

LG Blackwolf

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Habe ich richtig verstanden, das mein orthogonales Komplement die Dimension 1 hat und ich dafür nur dieses LGS lösen muss?

1x +0y+3z+2w=0

1x - 1y+3z+0w=0

w=beliebig =t

z=beliebig =s

Geslöst hätte ich diesen Vektor raus, ist das dann schon mein Orthogonales Komplement?

-3s-2t

- 2t

  s

  t

Danke übrigens noch für die Antwort.

LG Blackwolf

Answer 1

Die Matrix A, deren Zeilen \(v_1\) und \(v_2\) sind, hat offenbar den Rang 2.

Es ist \(U^{\perp}=\{x\in V: A\cdot x^T=0\}\), daher \(\dim U^{\perp}=4-2=2\).

Da ich keine Lust hatte, die Lösungsmenge mit Gauss zu bestimmen,

habe ich durch "intensives Hingucken" als Basis

\(\{(2,2,0,-1),(3,0,-1,0)\}\) gefunden.