Koordinaten des Eckpunktes berechnen

Question

Aufgabe:

habe wieder mal eine Hausaufgabe, bei der ich bei einigen Teilaufgaben leider nicht weiterkomme.

Gegeben ist eine Schar von Dreiecken ABC_n, die Winkel BAC_n haben das Maß α=30°. Es gilt: A(-1/-1), B(5/5).

a) Zeichne das gleichschenklige Dreieck ABC₁ der Schar mit der Basis [AB].

b) Berechne die Schenkellänge AC₁, und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC₁.

c) Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C₁.

d) Das Dreieck ABC₂ der Schar ist rechtwinklig mit der Hypotenuse [AB]. Zeichne dieses Dreieck in ein neues Koordinatensystem.

e) Berechne die Länge AC₂ und die Koordinaten des Eckpunktes C₂.

f) Der Bogen BC₂ und die Strecke [BC₂] begrenzen ein Kreissegment. Berechne dessen Flächeninhalt.

Problem/Ansatz:

a) und b) habe ich bereits gemacht, bei c) habe ich eine Frage:

muss man Geradengleichungen erstellen und diese dann gleichsetzen, um die Punkkoordinaten zu berechnen?

Und ist es die gleiche Vorgehensweise bei der Teilaufgabe e)? Da habe ich die Länge AC₂  aus der Sinusbeziehung berechnet:

AB_x= (5-(-1)=6 (x-Koordinate), AB_y=5-(-1)=6;

Strecke AB=Wurzel aus 6²+6²=8,49 cm.

sin(β)=AB/AC₂  ⇒ AC₂= sin(60°)*8,49=7,35 cm. Und wie berechne ich jetzt die Eckpunktkoordinaten von Punkt C₂?

Teilaufgabe f): Wie berechne ich den Kreisbogen BC₂, um dann den Flächeninhalt zu berechnen?

Kann mir jemand bitte mit ein Paar Lösungsansätzen helfen? Vielen Dank im Voraus!

Comments

... muss man Geradengleichungen erstellen und diese dann gleichsetzen, um die Punkkoordinaten zu berechnen?

Gegenfrage: hast Du eine Alternative? Bzw. hast Du schon mal mit Vektoren gerechnet?

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... es gibt noch eine dritte Möglichkeit. Die ist sogar relativ einfach, nur kommt man nicht so einfach drauf. Es reicht im Wesentlichen der Satz des Pythagoras und ein wenig Dreiecksgeometrie.

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Könnten Sie bitte vielleicht aufschreiben wie Sie das meinen?

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e) Da habe ich die Länge AC2  aus der Sinusbeziehung berechnet:

.. dann hast Du vorher den Aufgabenteil d) nicht gemacht. Mache dies auf jeden Fall vorher!

Teilaufgabe f): Wie berechne ich den Kreisbogen BC2,

dazu musst Du uns noch mitteilen, wo der Mittelpunkt dieses Kreisbogens liegt und was sein Radius ist.

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Habe ich doch gemacht, oder habe ich es falsch gemacht? Ich verstehe langsam nichts mehr...ich weiß leider nicht wie ich ein Bild hier einfügen kann.

Answer 1

Hallo David,

Könnten Sie bitte vielleicht aufschreiben wie Sie das meinen?

Ich füge in das Dreieck \(\triangle ABC_1\) ein weiteres Dreieck \(\triangle M_cC_1E\) ein. Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

Dass der Mittelpunkt \(M_c\) der Strecke \(AB\) bei $$M_c = \begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}$$liegt, das sollte klar sein. Sonst frage nochmal nach.

Das Dreieck \(\triangle AM_cC_1\) ist rechtwinklig. Da der Winkel \(\angle BAC_1 = 30°\) ist (blau), muss \(\angle AC_1M_c = 60°\) sein (rot). Und damit ist das Dreieck \(\triangle AM_cC_1\) die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks (siehe \(\triangle AC_1'C_1\)). Daraus folgt, dass $$|M_cC_1| = \frac 12 |AC_1|$$Die Strecke \(|AM_c| = 3\sqrt 2\). Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte. Ich nenne \(|M_cC_1| = h\) dann ist lt. Pythagoras in \(\triangle AM_cC_1\)$$h^2 + \left( 3 \sqrt 2\right)^2 = 4h^2 \implies h = \sqrt 6$$Das Dreieck \(\triangle EM_cC_1\) ist rechtwinklig und gleichschenklig, da seine Hypotenuse unter -45° zur X-Achse verläuft. Es sei \(|EM_c| = x\), dann gilt in diesem Dreieck$$x^2 + x^2 = h^2 = 6 \implies x = \sqrt 3$$Und aus der Zeichnung kann man unmittelbar ablesen$$C_1 = M_c + \begin{pmatrix}-x\\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-\sqrt 3\\ 2+\sqrt 3\end{pmatrix}$$

Gegeben ist eine Schar von Dreiecken ABC_n, die Winkel BAC_n haben das Maß α=30°

.. das hatte ich in meinem ersten Entwurf einer Antwort wohl überlesen :-|

(es folgt der korrigierte Teil)

Das Dreieck ABC2 der Schar ist rechtwinklig mit der Hypotenuse [AB]
e) Berechne die Länge AC2 und die Koordinaten des Eckpunktes C2.

Dann folgt daraus dieses Bild

Der Winkel \(\angle C_2BA = 60°\) (rot). Somit ist \(\triangle ABC_2\) ein halbes gleichseitiges Dreieck. Das ganze gleichseitige Dreieck wäre \(ABB'\). Daraus folgt: $$|BC_2| = \frac 12 |AB| = 3\sqrt 2 $$Ich betrachte nun das Dreieck \(\triangle EBC_2\) mit den achsenparallelen Katheten. Es sei \(|EB|=x\) und \(|EC_2| = y\). Der Winkel \(\angle C_2BE\) (grün) ist \(=15°\). Im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle EBC_2\) gilt dann$$\begin{aligned} \tan\left( \angle C_2BE\right) &= \frac yx \\ \tan(15°) &= \frac yx \\ 2-\sqrt 3 &= \frac yx \\ y &= (2-\sqrt 3)x\end{aligned}$$Weiter ist nach Pythagoras$$\begin{aligned} x^2 + y^2 &= |BC_2|^2 \\ x^2 + (2-\sqrt 3)^2x^2&=  \left( 3 \sqrt 2\right)^2 \\ x^2 &= \frac{18}{8-4 \sqrt 3} \\ &= \frac {36 + 18 \sqrt 3}{16 -12} = \frac 94(4+ 2\sqrt 3) \\ \implies x &= \frac 32 \sqrt{4 + 2\sqrt 3} = \frac 32 \sqrt{1 + 2 \sqrt 3 + (\sqrt 3)^2} \\ &= \frac 32 (1+\sqrt 3) \\ \implies y &= \frac 32(2-\sqrt 3)(1 + \sqrt 3) = \frac 32 (\sqrt 3\,-1)\end{aligned}$$und damit kann man die Koordinate von \(C_2\) direkt hinschreiben$$\begin{aligned} C_2 &= B + \begin{pmatrix}-x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 - \frac 32(1 + \sqrt 3)\\ 5 +\frac 32 (\sqrt 3\,-1) \end{pmatrix} \\ &= \frac 12 \begin{pmatrix} 7 - 3\sqrt 3\\  7 + 3 \sqrt 3 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0,902\\ 6,098\end{pmatrix}\end{aligned} $$Du kannst das ganze natürlich auch mit dem Taschenrechner und mit Fließkommazahlen rechen. Was vielleicht einfacher ist. Aber so brauche ich keinen Taschenrechner und das Ergebnis ist exakt.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank, das habe ich so ähnlich auch gemacht, ich verstehe jetzt nicht, wie ich bei der Teilaufgabe e) die Koordinaten vom Eckpunkt C2 berechne.

Analog der Teilaufgabe c), nur hier hat man es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun?

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Analog der Teilaufgabe c), nur hier hat man es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun?

Nicht ganz, sondern einfacher.

Ich habe meine Antwort erweitert (s.o.)

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Herr Werner-Salomon, erstmal vielen herzlichen Dank für die ausführliche Lösung!

Meine Frage kommt Ihnen bestimmt blöd vor, aber woran erkennt man, dass es nicht nur ein rechtwinkliges, sondern auch noch ein gleichschenkliges Dreieck??? Ich habe es so verstanden, dass die Dreiecke ΔABC₁ und ΔABC₂ unabhängig voneinander sind. Meine Zeichnung zur Teilaufgabe d) ist dann falsch und somit alle meine Berechnungen auch. Ich bin davon ausgegangen, dass der Winkel α=30° und dann ist β=60°, da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

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Meine Frage kommt Ihnen bestimmt blöd vor, aber woran erkennt man, dass es nicht nur ein rechtwinkliges, sondern auch noch ein gleichschenkliges Dreieck???

Die Frage ist keineswegs blöd und vor allem total berechtigt. Das war mein Fehler! Ich hatte die Aufgabenstellung von a) auch für d) übernommen.

Oben findest Du meine Antwort mit dem korrigierten zweiten Teil. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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Vielen Dank Herr Werner-Salomon, die Aufgabe haben wir im Unterricht schon besprochen und Ihre korrigierte Lösung war richtig!

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.. na da bin ich ja froh! Ich hoffe meine Korrektur kam nicht zu spät.

Tut mir leid, dass ich die Aufgabe zunächst falsch interpretiert hatte. Aber wie Du siehst, kann das jedem passieren; und gerade wenn man sich sicher fühlt ;-)

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Die kam rechtzeitig, ich habe bloß leider nicht geschafft gleich zu antworten...

Answer 2

"Bei c) habe ich eine Frage:

Muss man Geradengleichungen erstellen und diese dann gleichsetzen, um die Punkkoordinaten zu berechnen?"

Ich würde sagen ja ( ob es auch mit Vektoren geht, entzieht es sich meiner Kenntnisse)

Empfehlung:

Berechne die Geradengleichung durch A und B; bestimme die Koordinaten der Mitte der Strecke A B ; stelle die Gleichung der Mittelsenkrechten auf. Diese Mittelsenrechte schneidet den freien Schenkel von  α in C.

mfG

Text erkannt:

GeoGebra Classi.

Moliets

Comments

Also für C1 habe ich die gleichen Werte rausbekommen und wie ist es bei dem rechtwinkligen Dreieck? Könnten Sie Ihre Werte mir auch sagen, damit ich ein Vergleich habe? Vielen Dank schon mal!