Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f(x)=1/3 x^3-5/2 x^2+6x+3. Wachsend bzw fallend

Question

Juhuu, hoffe ihr könnt mir helfen. Ich weiß nicht ob es einfach schon zu spät ist und ich dadurch im Moment nicht mehr klar denken kann. Es geht um folgendes:

 bestimmen sie das monotonieverhalten der Funktion y(x)=1/3x^3-5/2x^2+6x+3, d.h. geben sie die Bereiche an, in denen die Funktion monoton wächst bzw. fällt.

Ich war der Meinung das es nur eins von beiden sein kann, also entweder ist die Funktion monoton steigend (größer oder konstant - aber niemals fällt!) oder monoton fallend (kleiner oder konstant).  Vielleicht ist die Frage echt zu dumm aber ich steh gerad echt auf der Leitung. :-(

Hoffe einer von euch kann die Leitung wieder frei machen :-)
dankkkkkeeeee schööööööönnnnn.

Answer 1

Genügt dir bereits eine Skizze?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%3D1%2F3x%5E3-5%2F2x%5E2%2B6x%2B3

Die Kurve hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt rechts davon. Dazwischen fällt die Funktion. Ansonsten steigt sie.

Comments

Steigung entnimmt man der

Ableitung der Funktion y' = x^2 - 5x + 6.

Nun schaust du, wie die Ableitung grösser resp. kleiner als 0 ist.

Beachte y'=x^2 - 5x + 6=(x-2)(x-3)

y'=0 für x1=2 und x2=3

nun schaust du, ob zwischen den Nullstellen y' grösser oder kleiner als 0 ist.

Test mit x=2.5

y'(2.5) = 0.5 * (-0.5) = -1/4 <0

Daher fällt die Funktion im Bereich B= {x| 2<x<3} streng

und sie steigt im Bereich B2={x| x<2 oder x>3} streng.

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Das ist zB auch immer was ich mich frage, was genau bestimmen in solchen Aufgaben heißt.
Bestimmen durch Rechnung? Oder bestimmen mit Zeichnung?
Vielen dank

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Nachdem man eine Skizze gemacht hat, hat man hoffentlich die Idee, was man rechnen könnte. Ausserdem dient die Skizze zumindest als Kontrolle der Rechnung.