Berechnen Sie den Winkel f(x)=x-1 und g(x)=4x

Question

Aufgabe: Berechnen Sie den Winkel zwischen f(x)=x-1 und g(x)=4x

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Kann mir jemand erklären/zeigen wie ich hier den Winkel berechne ?

Text erkannt:

c) Sei \( V:=\{f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \mid f \) ist stetig \( \} \) mit dem Skalarprodukt \( \langle f, g\rangle=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) d x . \) Berechnen
Sie den Winkel zwischen \( f(x)=x-1 \) und \( g(x)=4 x \).

Answer 1

Bei f ist die Steigung m=1 und bei g ist die Steigung m=4.

Umrechnung mit Arcustangens: m=1 entspricht 45° und m=4 entspricht ca. 76° Steigung.

Der Winkel zwischen den beiden Geraden ist die Differenz davon.

Comments

Hallo, könntest du erklären wie du auf die Umrechnung mit dem Arcustangens kommst?

LG Blackwolf

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Wir befinden uns nicht im Standard-Vektorraum, sondern im Vektorraum der stetigen Funktion, die über \([-1|1]\) definiert sind. Daher kannst du den Winkel so nicht bestimmen.

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Den arctan verwendet man, weil die Steigung definiert ist als Δy/Δx (entspricht Gegenkathete / Ankathete).

Ich habe die vom Fragesteller explizit unter "Aufgabe" formulierte Frage beantwortet, nicht etwas anderes was auf dem einkopierten Papierschnipsel steht.

Answer 2

Das geht dann wohl nach der üblichen Formel

cos(α) = $$\frac {<f,g>}{||f||*||g||}$$ $$<f,g>=\int \limits_{-1}^{1}f(x)*g(x) dx=8/3$$

$$||f||= \sqrt {\int \limits_{-1}^{1}f(x)*f(x) dx}=\sqrt{8/3}$$

$$||g||= \sqrt {\int \limits_{-1}^{1}g(x)*g(x) dx}=\sqrt{32/3}$$

==>  cos(α) = 1/2 ==>   α  = 60°

Comments

Bei \(\|f\|\) müsste auch noch eine Wurzel über \(8/3\)...

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Danke, korrigiere ich.

Answer 3

Aloha :)

Wenn ein Skalarprodukt definiert ist, berechnet sich der Winkel zwischen den Komponenten wie folgt:$$\cos\varphi=\frac{\langle f|g\rangle}{\|f\|\cdot\|g\|}=\frac{\langle f|g\rangle}{\sqrt{\langle f|f\rangle}\cdot\sqrt{\langle g|g\rangle}}$$

Wir müssen also 3 Integrale berechnen:$$\langle f|g\rangle=\int\limits_{-1}^1(x-1)4x\,dx=\frac{8}{3}$$$$\langle f|f\rangle=\int\limits_{-1}^1(x-1)^2\,dx=\frac{8}{3}$$$$\langle g|g\rangle=\int\limits_{-1}^1(4x)^2\,dx=\frac{32}{3}$$

Damit haben wir:$$\cos\varphi=\frac{\frac{8}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt{\frac{32}{3}}}=\frac{\frac{8}{3}}{\sqrt{\frac{256}{9}}}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{16}{3}}=\frac{1}{2}\quad\implies\quad\varphi=60^\circ$$

Answer 4

f(x)= x-1 → m_f = 1

g(x)= 4x --> m_g = 4

α_f = tan^-1 (1) =45°

α_g⁼ tan ^-1 (4)=75,96°

==> α = | αf- αg | = 30,96 °

Comments

Wir befinden uns nicht im Standard-Vektorraum, sondern im Vektorraum der stetigen Funktion, die über \([-1|1]\) definiert sind. Daher kannst du den Winkel so nicht bestimmen.

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Danke dir, dann in diesem Fall :

cos(α) = $$\frac {<f,g>}{||f||.||g||}$$

Answer 5

Berechnen Sie den Winkel zwischen f(x)=1x-1 und g(x)=4x

tan α = | \( \frac{m_2-m_1}{1+m_1*m_2} \)|

tan α = | \( \frac{4-1}{1+1*4} \)| = \( \frac{3}{5} \)

\( tan^{-1} \)( \( \frac{3}{5} \) ) =  30,9 6 °

mfG

Moliets