Kurvendiskussion Aufgabe Strandbad: f(x)=1/2 (x^3 -3x^2 +4x +2). Unter welchem Winkel mündet der Weg in die Straße?

Question

Ich habe totale Probleme bei dieser Aufgabe und komme die ganze Zeit nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und sie erklären. es mir sehr wichtig.

 

Exakt im Zentrum der Flussbiegung liegt das Strandbad. Ein neuer Pflasterweg soll es mit der Straße verbinden. Der Weg soll exakt rechtwinklig vom Fluss weglaufen. Der Fluss kann durch die Funktion f(x)=1/2(x³ -3x² +4x +2) modelliert werden (1LE=100m).

 

a) Was kostet der Bau des Weges wenn pro lfd. Meter 500 Euro kalkuliert werden?

b)Unter welchem Winkel α mündet der Weg in die Straße ein?

Answer 1

f(x) = 1/2 * (x^3 - 3·x^2 + 4·x + 2) = x^3/2 - 3·x^2/2 + 2·x + 1

f'(x) = 3·x^2/2 - 3·x + 2

f''(x) = 3·x - 3

Das Strandbad liegt damit eventuell im Wendepunkt f''(x) = 0

3·x - 3 = 0
x = 1

f(1) = 2 --> WP(1, 2)

An dieser Stelle modellieren wir die Normale zum Graphen

n(x) = -1/f'(1) * (x - 1) + f(1) = -2 * (x - 1) + 2 = 4 - 2·x

Ich mache da jetzt mal eine Skizze

Wenn man jetzt noch wüsste wo die Straße verläuft, könnte man auch den Rest beantworten.

Comments

Die Straße würde bei den Koordinaten (1/2) und (0/4) verlaufen.

Vielen Dank für die schnelle Hilfe erstmal :)

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Der Weg würde von (1, 2) nach (0, 4) verlaufen? Dann wäre die Straße die y-Achse.

Damit ist die Weglänge der Abstand von (1, 2) und (0, 4)

d = √((1-0)^2 + (4-2)^2) = √5 = 2.24 = 224 m

Kosten: 224 * 500 = 112000 Euro

α = arctan(1/2) = 26.57°

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Vielen vielen Dank nochmal für deine Hilfe :)

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@Mathecoach

d = 2.24 = 224 m ???

2.24 km = 2240 m

mfg Georg

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1 LE = 100 m

2.24 LE = 2240 m

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die Angbe für die Längeneinheit hatte ich übersehen. Es bleibt also dabei

1 LE = 100 m
d = 2.24 = 224 m

mfg Georg

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@Der_Mathecoach

Wie wurde der Winkel berechnet? Bzw. wie kommt man auf die 1/2?

LG

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Steigungsdreieck an den Punkten (1 | 2) und (0 | 4) mitsamt des Winkels einzeichnen.

Dann den Winkel über den Tangens-Ausrechnen.

Notfalls nochmal die Trigonometrie der 9. Klasse nachschlagen.