Dreieck. (rechter Winkel)

Question

Aufgabe: Dreieck (rechter Winkel)

Problem/Ansatz:

Guten Morgen:)

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht, kann mir jemand helfen ?

Schöne Pfingsten :)

Text erkannt:

Seien \( X, Y, Z \) Punkte, sodass
$$ d(X, Z)^{2}+d(Y, Z)^{2}=d(X, Y)^{2} $$
Dann hat \( \Delta X Y Z \) in \( Z \) einen rechten Winkel.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.d(\vec x,\vec z)^2+d(\vec y,\vec z)^2=d(\vec x,\vec y)^2\quad\right|\text{2-Norm wählen}$$$$\left.\left\|\vec z-\vec x\right\|^2+\left\|\vec z-\vec y\right\|^2=\left\|\vec y-\vec x\right\|^2\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.\left(\vec z^2-2\vec x\vec z+\vec x^2\right)+\left(\vec z^2-2\vec y\vec z+\vec y^2\right)=\vec y^2-2\vec x\vec y+\vec x^2\quad\right|-\vec x^2\;\big|\;-\vec y^2$$$$\left.\left(\vec z^2-2\vec x\vec z\right)+\left(\vec z^2-2\vec y\vec z\right)=-2\vec x\vec y\quad\right|+2\vec x\vec y$$$$\left.\left(\vec z^2-2\vec x\vec z\right)+\left(\vec z^2-2\vec y\vec z\right)+2\vec x\vec y=0\quad\right|\text{zusammenfassen}$$$$\left.2\vec z^2-2\vec x\vec z-2\vec y\vec z+2\vec x\vec y=0\quad\right|\colon2$$$$\left.\vec z^2-\vec x\vec z-\vec y\vec z+\vec x\vec y=0\quad\right|\text{ausklammern}$$$$\left.\vec z(\vec z-\vec x)-\vec y(\vec z-\vec x)=0\quad\right|\text{weiter ausklammern}$$$$\left.(\vec z-\vec y)(\vec z-\vec x)=0\quad\right|\text{beide Faktoren negieren}$$$$\left.(\vec y-\vec z)(\vec x-\vec z)=0\quad\right.$$$$\overrightarrow{ZY}\cdot\overrightarrow{ZX}=0$$Also liegt bei \(Z\) ein rechter Winkel vor.

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung und Rechnung :)

Answer 2

Zeige das \(\vec{ZX}\cdot\vec{ZY} = 0\) ist.