Differentialgleichung mit substituieren lösen

Question

Aufgabe: a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution u(x) = y'(x) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y'' + y'^2 = 0
Bestimmen Sie anschließend die beiden freien Konstanten so, dass das Randwertproblem
y(−1) = y(1) = 1 gelöst wird.

Problem/Ansatz: An welcher stelle muss ich bei der aufgabe wieder zurück substituieren?

                       bei meiner lösung kamm c*e^-x raus aber das ist ja offentsichtlich falsch wen ich zwei konstanten brauche

                   mein ansatz y'' * y'^2 =0

                                        u' + u^2 = 0

             y= e^ax             ae^ax +(e^ax)^2 =0        :e^ax

                                          a+1^2 = 0

                       ist das sie stelle wo ich rücksubstituieren muss und wenn ja wie?

Answer 1

Hallo,

u(x) = y'(x)

u'(x) = y''(x)

->Einsetzen in die DGL:

y'' + y'^(2) = 0

u'(x) +u^2=0 ->Trennung der Variablen:

du/dx= -u^2

du/u^2= - dx

(-1)/u= -x+C |*(-1)

(1)/u= x-C

u=1/(x-C)

Resubstitution:

u(x) = y'(x)

u=1/(x-C)

y'(x)=1/(x-C)

y= ln|x-C|+C₁