Allgemeine Lösung y(x;C1,C2) inhomogener DGL 2. Ordnung y′′+ 2y′+ 2y = x

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y(x;C₁,C₂) der inhomogenen Differentialgleichung y′′+ 2y′+ 2y = x.

Hinweis: Lösen Sie zunächst die zugeordnete homogene Differentialgleichung. Setzen Sie dann für die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung eine lineare Funktion der Form y_p(x) =ax+b an und bestimmen Sie dann die Konstanten a und b.

Problem/Ansatz:

Die zugeordnete homogene DGL wäre dann ja y'' + 2y' + 2y = 0.
Warum man das dann mithilfe von y(x) = e^(λ*x) mit λ ∈ ℂ zu
λ² + 2λ + 2 = 0 umschreiben kann, habe ich aber nicht so recht verstanden. (Bzw. darf man das überhaupt?)

Für λ habe ich jeweils -1+i und -1-i bekommen, aber leider weiß ich nicht, wie ich daraus nun zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen bekomme. (Mit der Euler'schen Formel e^iφ?)

Zum inhomogenen Teil bin ich noch gar nicht gekommen.

Es wäre nett, wenn ihr mir eure Lösungen/Lösungsansätze schreibt. :)

Answer 1

Hallo,

Für λ habe ich jeweils -1+i und -1-i bekommen, aber leider weiß ich nicht, wie ich daraus nun zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen bekomme. (Mit der Euler'schen Formel e^(iφ)?) JA

Natürlich leitet man das nicht jedesmal her, dafür gibt es Tabellen :)

----->siehe hier:

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Blatt 2 , 1.Tabelle,Punkt 1(die 3 Fälle , in diesem Beispiel Fall3

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Zum inhomogenen Teil bin ich noch gar nicht gekommen.

Ansatz:

yp(x) =ax+b

yp'(x)= a

yp''(x)= 0

Einsetzen von yp(x),yp'(x),yp''(x) in die DGL, zusammenfassen und Koeffizientenvergleich tätigen

-------->

y′′+ 2y′+ 2y = x

0 +2*a+2(ax+b)=x

2a+2ax+2b=x

Koeffizientenvergleich:

x^1: 2a= 1 ->a=1/2

x^0: 2a+2b=0 ->b= -1/2

-------->

yp(x) =ax+b

yp(x)=x/2 -1/2

Lösung:

y=yh+yp

Comments

Vielen Dank!

Das bringt mich definitiv weiter :)