Hallo,
es gibt noch einen einfacheren Weg, als am Ende vier Gleichungen mit vier Unbekannten lösen zu müssen.
Prolog
Dazu muss man aber wissen, dass ein kubisches Polynom punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist. Ein kubisches Polynom - also eine ganzrationale Funktion 3.Grades - mit einem Wendpunkt im Ursprung sieht so aus:$$p(x) = ax^3 + cx$$Das lässt sch leicht zeigen, die 2.Ableitung ist \(p''(x) = 6ax\), und die ist \(=0\) wenn \(x=0\) ist.
Nun kann man jede Funktion um \(\alpha\) in \(x\) und um \(\beta\) in \(y\) verschieben, indem man \(x\) durch \(x-\alpha\) ersetzt und zur Funktion \(\beta\) addiert. Das mache ich jetzt auch mit unserem \(p(x)\)$$p(x) = a(x-\alpha)^3 + c(x-\alpha) + \beta$$Die 2.Ableitung ist \(p''(x) = 6a(x- \alpha)\), d.h. der Wendepunkt ist bei \(\alpha\) und der Funktionswert der Wendestelle ist \(p(\alpha) = \beta\).
Folglich lautet eines ganzrationale Funktion 3.Grades \(f(x)\) mit bekannter Wendestelle bei \((x_w,\,y_w)\):$$f(x) = a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + y_w$$
Zur Aufgabe
Von der gesuchten Funktion sind vier Bedingungen bekannt$$\begin{aligned} f(-1) &= 0\\ f''(-2) &= 0 &&|\, \text{Wendepunkt} \\ f'(-2) &= t'(-2) = 3 &&|\, t(x)=3x+2,5 \\ f(-2) &= t(-2) = 3 \cdot (-2)+2,5 = -3,5\end{aligned}$$Mit der zweiten und vierten Bedingung liegen die Koordinaten der Wendestelle fest: \((x_w|\,y_w) = (-2|-3,5)\). Die Funktion und ihre Ableitung lauten also (s.o.)$$\begin{aligned} f(x) &= a(x+2)^3 + c(x+2) - 3,5 \\ f'(x) &= 3a(x+2)^2 + c \end{aligned}$$Einsetzen der dritten Bedingung \(f'(-2)=3\) in die Ableitung gibt$$f'(-2) = 3a((-2)+2)^2 + c = 3 \implies c = 3$$Und zum Schluß noch die erste Bedingung \(f(-1)=0\) in \(f(x)\) einsetzen$$f(-1) = a((-1) + 2)^3 + 3((-1) + 2) - 3,5 = a - 0,5 = 0 \\ \implies a = 0,5$$Die gesuchte Funktion ist somit$$f(x) = 0,5(x+2)^3 + 3(x+2) - 3,5$$Diese kann man noch in die Normalform bringen. Dazu ist es hilfreich zu wissen, dass $$(x+\alpha)^3 = x^3 + 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x + \alpha^3$$ ist. Dann wird daraus$$\begin{aligned} f(x) &= 0,5(x+2)^3 + 3(x+2) - 3,5 \\&= 0,5(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 3x + 6 - 3,5 \\&= 0,5x^3 + 3x^2 + 6x + 4 + 3x + 2,5 \\&= 0,5x^3 + 3x^2 + 9x + 6,5\end{aligned}$$Folgender Plot zeigt den Graphen
~plot~ 0.5x^3+3x^2+9x+6.5;3x+2.5;{-2|-3.5};[[-7|5|-20|12]] ~plot~
Die rote Gerade ist die Wendetangente \(t(x)=3x+2,5\).
Gruß Werner
