Question

Sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent? Sprich es gilt A⇔ B ?

A: f sei eine zum Koordinatenursprung symmetrische Funktion.

B: \( \int\limits_{-a}^{a} \) f(x)dx=0

Also vorausgesetzt, f ist eine Polynomfunktion, ist A ⇒B klar, da f dann nur ungerade Exponenten besitzt, weshalb F nur gerade Exponenten besitz. Daraus folgt aber, dass F(a)=F(-a) und somit F(a)-F(-a)=0.

Gilt das für beliebige Funktionstypen ? Mir fällt gerade keine Funktion ein, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und KEINE Polynomfunktion...

B⇒A gilt (zumindest unter Voraussetzung, dass f Polynomfunktion) auch, da:

Aus \( \int\limits_{-a}^{a} \)f(x)dx=0 folgt, dass F(a)-F(-a)=0 erfüllt sein muss. Daraus folgt (zumindest bei Polynomfunktionen), dass F nur gerade Exponenten hat. Demnach hat f nur ungerade Exponenten und ist somit symmetrisch zum Ursprung.

Passt das so? Und muss man f auf Polynomfunktionen einschränken? Oder gilt das allgemein ?

:)

Answer 1

Hallo

Punktsym heißt ja f(x)=-f(-x) dann teil das Integral von -a bis 0 + von 0bis a. nach def sind die 2 entgegengesetzt gleich.

(ein Beispiel das du kennst ist übrigens sin(x)) ausser Polynomen.)

Gruß lul

Comments

Lieber Lul,

vielleicht habe ich Tomaten auf den Augen. Aber ich erkenne jetzt nicht, ob du mir zustimmst oder widersprichst... :D

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Ich hänge dir mal meine Idee eines Beweises an.

Ich bin mir allerdings bei den beiden Fragezeichen nicht endgültig sicher, ob man das einfach so folgern darf... Rein intuitiv würde ich das aber sagen...

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Also das erste Fragezeichen hat sich erledigt ... Kettenregel.

Kann mir jemand beim zweiten Fragezeichen helfen?

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hallo

sorry ich hatte nicht Äquivalenz, sondern nur A -> B betrachtet.

B nach A ist nicht notwendig richtig, du kannst dir leicht Funktionen überlegen bei denen die Fläche links von 0 das negative derer von rects von 0 ist, ohne dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Ich habe nicht überlegt, was ist, wenn bei b) steht für alle a in R

deinen Weg für A->B kann ich nicht nachvollziehen . es ist nirgends davon die Rede, dass f(x) eine Stammfunktion besitzt! Stell dir etwa eine punktsymmetrische wilde Treppenfunktion vor. Warum benutzt du nicht den Vorschlag, das Integral zu unterteilen?

Wenn du nur nicht Äquivalenz zeigen willst mach einfach ein Gegenbeispiel für B-A

etwa f(x)=0 für x<-1, f(x)=-2  für -1<x<0. f(x)=1 für 0<x<2, f(x)=0 für x>2

dann ist B richtig für als a>=2 aber A nicht.

lul

Gruß lul

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Ohweia. Ich sehe gerade, dass ich bei meinem Beweisversuch die Aussagen A und B getauscht habe...

Das ist jetzt natürlich mega verwirrend.

Die folgende Aussage gilt (wenn man es allgemein erläutert, mit dem aufgeteilten Integral).

Wenn f punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, dann ist das Integral von -a bis a für alle a aus R = 0.

Die Aussage; Wenn das Integral von -a bis a für alle a aus R = 0 ist, dann ist f punktsymmetrisch hängt offenbar davon ab, ob man es FÜR ALLE a aus R fordert.

Weil in diesem Fall, wäre dein Beispiel ja kein Gegenbeispiel...

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Für alle a fällt mir keines ein ... Dir?

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Hallo

was steht denn da? für alle a, wenn das nicht da steht, sag einfach nicht äquivalent.

wenn für alle a dann kannst du das Integral in beliebig kleine Teile unterteilen und alle einzelnen müssen gleich sein, für Unterteilung gegen oo ergibt sich dann dass f(x)=-f(-x)

Gruß lul