limes von einer Folge, Alternierend

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1+(-1)^{n} n^{2}}{2+3 n+n^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}\left(\frac{1}{n^{2}}+(-1)^{n}\right)}{n^{2}\left(\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n}+1\right)}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^{2}}+(-1)^{n}}{\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n}+1} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}}{1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Frage damit ich es besser verstehe: man hat das n^2 ausgeklammert sowie im Nenner und Zähler um es anschließend zu kürzen, also hat man im Zähler 1/n^2 und die alternierende Folge aber mir erschließt es nicht ganz warum da (-1)^n steht kann mir das einer kurz erklären :)

Answer 1

Das (-1)^n war doch schon von Anfang an da.

Die drei Brüche \( \frac{1}{n^2} \), \( \frac{2}{n^2} \) und \( \frac{3}{n} \) gehen jeweils gegen 0.

Und (-1)^n hat keinen festen Grenzwert, weil jedes zweite Glied 1 ist und die Glieder dazwischen sind immer -1.

Die gegebene Folge verhält sich also im Unendlichen so, wie sich die Folge (-1)^n verhält.

Comments

das wird ja mit n^2 multipliziert und dann wird n^2 ausgeklammert aber da bleibt (-1)^n übrig und meine Frage ist warum es da bleibt

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Du hast doch gerade selber geschrieben: Es bleibt übrig. Wenn es übrig bleibt, kann es nicht weg sein. Ich wiederhole meinen Kernsatz:

Die gegebene Folge verhält sich also im Unendlichen so, wie sich die Folge (-1)^n verhält.

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ahhh, habs verstanden Dankeschön :)