Hallo,
$$|x+ 2|+|x−2| > x^{2}+ 1$$Die Absolutstriche führen zu zwei Unstetigkeitsstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\). Dort wechselt der Term innerhalb der Absolut-Funktion sein Vorzeichen. Demzufolge sind drei Fälle zu unterscheiden: \(x \lt -2\) und \(-2 \le x \lt 2\) sowie \(2 \le x\).
Fall 1: \(x \lt -2\)$$\begin{aligned} -(x+2)-(x-2)&\gt x^2 + 1 \\ -2x &\gt x^2 + 1 &&|\, +2x\\ 0 &\gt x^2 +2x + 1 \\ 0 &\gt (x+1)^2 \\ \mathbb L_1 &= \{\}, \quad \text{da } (x+1)^2 \gt 0\space \forall x \end{aligned}$$ein quadratischer Ausdruck kann in \(\mathbb R\) nie kleiner als 0 werden. Folglich gibt es in diesem Fall keine Lösung.
Fall 2: \(-2 \le x \lt 2\)$$\begin{aligned} x + 2 - (x-2) &\gt x^2 +1 \\ 4 &\gt x^2 + 1 &&|\, -1 \\ 3 &\gt x^2 &&|\, \sqrt{}\\ \sqrt 3 &\gt |x| \\ \mathbb L_2 &= \{x:\, -\sqrt 3 \lt x \lt \sqrt 3\} \\ \end{aligned}$$Die Gleichung ist also erfüllt, wenn sich \(x\) im Intervall \((-\sqrt 3; +\sqrt 3)\) befindet.
Und Fall 3: \(2 \le x\)$$\begin{aligned} x+2 + x - 2 &\gt x^2 +1 \\ 2x &\gt x^2 + 1 &&|\, -2x \\ 0 &\gt x^2 - 2x + 1 \\ 0 &\gt (x-1)^2 \\ \mathbb L_3 &=\{\}\\ \end{aligned}$$Das ist wie im Fall 1. Ein Quadrat wird nie kleiner als 0. Wenn man sich das ganze im Graphen ansieht, sieht das Ergebnis sinnvoll aus:
~plot~ abs(x+2)+abs(x-2);x^2+1;x=sqrt(3);x=-sqrt(3);[[-6|6|-1|7]] ~plot~
Der blaue Graph ist der Term \(|x+ 2|+|x−2|\) und die rote Parabel steht für \(x^{2}+ 1\). Die Parabel ist nur in dem Intervall \((-\sqrt 3; +\sqrt 3)\) kleiner als der blaue Graph.
Gruß Werner
