h-Methode zeigen von folgender Funktion ...

Question

Zeigen Sie mit der h-Methode, dass die Funktion

\( f(x)=\frac{2}{x}, \quad x \neq 0 \)

an der Stelle \( x=2 \) die momentane Änderungsrate \( f^{\prime}(2)=-\frac{1}{2} \) hat.

Hinweis: Erweitern Sie den Bruch, der für \( m_{h} \) entsteht, mit \( 2(2+h) \)

Answer 1

$$f'(2)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(2+h)-f(2) }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ 2+h } -\frac { 2 }{ 2 }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ 2+h } -1 }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ 2+h } -\frac { 2+h }{ 2+h }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { -h }{ 2+h }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -1 }{ 2+h }  }$$$$=-\frac { 1 }{ 2 }$$

Answer 2

 

f(x) = 2/x, x ≠ 0

h-Methode:

[f(2 + h) - f(2)] / h

An der Stelle x = 2:

[2/(2 + h) - 2/2] / h | Gemäß Hinweis * 2 * (2 + h)

(4 / [2 * (2 + h)] - 2 * (2 + h) / [2 * (2 + h)] / h

[4 - 4 - 2h] / [2 * (2 + h) * h]

-2h / (4h + 2h²) | durch h kürzen

-2 / (4 + 2h)

Für h -> 0 geht dieser Bruch gegen

-2/4 = -1/2

Also f'(2) = -1/2

 

Besten Gruß