Lineare Abbildung, Kern

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine lineare Abbildung und \( F=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \).
(a) Angenommen es gilt: \( f\left(v_{1}+v_{2}\right)=f\left(v_{1}+v_{3}\right) \). Geben Sie ein Element \( v \neq 0 \) mit \( v \in \operatorname{kern}(f) \) an. Punkte)
(b) Angenommen es gilt: \( f\left(v_{1}\right)=\dot{v}_{2}, f\left(v_{2}\right)=v_{3}-v_{2} \) und \( f\left(v_{3}\right)=4 v_{3}, \) Geben Sie \( M_{F}^{F}(f) \) an.

Könnt ihr mir zeigen bitte, wie man hier vorgeht?

Comments

Wie lautet bei Teil (b) genau \(f(v_1)\)? Der Punkt über dem \(v_2\) ist sicher irgendein Fehler.

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Ja, stimmt, das mit v2 war ein Tippfehler!

Answer 1

(a) Verwende die Eigenschaft \(f(v + w) = f(v) + f(w)\) linearer Funktionen auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung.

(b) Die Spalten von \( M_{F}^{F}(f) \) sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

Beispiel. \(f(v_2) = 0\cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 1\cdot v_3\). Die zweite Spalte von \( M_{F}^{F}(f) \) ist also

        \(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\).

Comments

Danke Oswald, ich werde das so anwenden!