Summe der Geometrischen Folge

Question

Aufgabe:

Ich wolle kurz fragen, wie man zu der Aufgabe den Rechenweg aufstellt.

∑ (k = 1 bis ∞) ((1/3)^k)

Comments

Was sollst du denn berechnen? Die Summe divergiert. Sollst du zeigen, dass sie divergiert?

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Genau, das ist es

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Ich sage nur 1/(1-q).

:-)

Answer 1

Aloha :)

Weil die einzelnen Summanden \(a_k\coloneqq \frac{1}{3}k\) keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe. Konkret gilt:

$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3}k=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{1}{3}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2+n}{6}\to\infty$$

Nach Korrektur der Aufgabenstellung entpuppt sich das Problem als geometrische Reihe:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{3}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{3}\right)^k-1=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}-1$$Der Grenzwert ist daher:$$S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-1=\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$$

Comments

Ich glaube du hast da etwas vertauscht. Es ist 1/3^k

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Ich glaube, dass der Grenzwert dann mit 1/3^k 1 beträgt.

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Ich glaube du hast da etwas vertauscht. Es ist 1/3^k

Zuerst stand es als Produkt da.

:-)

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Ups, dann denke ich, dass es ein Tippfehler von mir aus war. Die 1 ist richtig, oder?

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Schau mal bitte, ich habe meine Antwort entsprechend angepasst.

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Woher kommt die -1

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Die Summe startet bei \(k=1\), die Summenformel für die geometrische Reihe startet bei \(k=0\).$$\sum\limits_{k=0}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$$$q^0+\sum\limits_{k=1}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$$$\sum\limits_{k=1}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1$$

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Hätte man das auch weglassen können?

Wozu war das (1) da?

\(S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3}k=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{1}{3}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2+n}{6}\to\infty\)

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Die Frage war zuerst falsch eingegeben worden. Die erste Antwort bezog sich auf die falsche Frage. Später wurde dir Frage korrigiert und ich habe meine Antowrt nochmal abgeändert.

Answer 2

Summenwert = 1/3/(1-1/3) = 1/2

geometrische Reihe (s. wikipedia)

Answer 3

$$a= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{1}{3})^k} $$$$a_n= \sum\limits_{k=1}^{n}{(\frac{1}{3})^k} $$$$\frac{1}{3}a_n= \sum\limits_{k=2}^{n+1}{(\frac{1}{3})^k} $$$$\frac{2}{3}a_n=a_n-\frac{1}{3}a_n=\frac{1}{3}-(\frac{1}{3})^{n+1}$$$$a_n=\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n})$$$$a=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n})= \frac{1}{2}$$