Real- & Imaginärteil: | (1 + i) |

Question

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+ib dar mit a, b ∈ ℝ.

| 1 + i |
[Betrag von (1 + i)]

Ich stehe auf dem Schlauch, wäre für Hilfe dankbar :)

Comments

Wenn ich mich nicht täusche wäre der 1. Schritt Definition des Betrages anwenden:

sei x ≥ 0:  1+ 1*i

x < 0:  -(1+i) = -1- 1*i

Und eventuell genügt das schon? Bin mir nicht ganz sicher, wäre ja zu simpel

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Das klappt so leider nicht, da die Menge C der komplexen Zahlen kein geordneter Körper ist. Man kann also von zwei komplexen Zahlen nicht sagen, welche von beiden größer ist als die andere. Insbesondere ist nicht festlegbar, ob für eine gegebene komplexe Zahl x gilt:

x ≥ 0.

Im übrigen ist der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Zahl, kann also keinen von Null verschiedenen Imaginärteil besitzen. Auch deshalb können deine Ergbnisse nicht richtig sein.

Answer 1

Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + b i ist definiert als

| z | = | a + b i | = √ ( a ² + b ² )

Er ist also gleich der Länge der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten der Realteil von z bzw. der Imaginärteil von z sind. Der Betrag gibt somit den Abstand der als Punkt ( a , b ) im  kartesischen Koordinatensystem aufgefassten Zahl ( a + b i ) vom Ursprung an. Er muss daher eine nichtnegative reelle Zahl sein.

Es gilt:

| 1 + i | = √ ( 1 ² + 1 ² ) = √ 2

In der Form a + bi dargestellt ist also:

| 1 + i | = √ 2 + 0 i

Comments

Korrektur: | 1 + i | = √( 1² + i²) = √( 1 - 1) = √0 ,

oder irre ich mich?

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Nein! JotEs macht das schon richtig.

z=a+ib

|z|= √(a^2 + b^2)
Das i hat unter der Wurzel nichts zu suchen.

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Stimmt, jetzt habe ich es auch gesehen.

Dankeschön an alle und liebe Grüße :)