Aloha :)
Du hast gezeigt, dass die \(z\)-Transformation \(z\coloneqq\frac{x-\mu}{\sigma}\) eine Zufallsvariable \(Z\) liefert, die den Erwartungswert \(0\) und die Standardabweichung \(1\) hat. Du machst jedoch keine Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. -dichte.
Wir gehen von einer normal-verteilten Zufallsvariablen \(X\) mit Erwartungswert \(\mu_x\) und Standardabweichung \(\sigma_x\) aus. Ihre Verteilungsfunkton lautet:$$F(x_0)=\frac{1}{\sigma_x\,\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x_0} e^{-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}}\,dx$$Wir substituieren:$$z=\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\quad\implies\quad z(-\infty)=-\infty\quad;\quad z(x_0)=\frac{x_0-\mu_x}{\sigma_x}\eqqcolon z_0\quad;\quad\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\sigma_x}$$Wir setzen das in die Verteilungsfunktion ein:$$F(x_0)=\frac{1}{\sigma_x\,\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z_0}e^{-\frac{z^2}{2}}\,\underbrace{\sigma_x\,dz}_{=dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z_0}e^{-\frac{z^2}{2}}\,dz=\frac{1}{1\cdot\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z_0}e^{-\frac{(z-0)^2}{2\cdot1^2}}\,dz\eqqcolon\phi(z_0)$$Ein Vergleich mit \(F(x_0)\) liefert nach der Transformation eine normal-verteilte Zufallsvariable \(Z\) mit Erwartungswert \(\mu_z=0\) und Standardabweichung \(\sigma_z=1\).
