Zeigen Sie, dass (a_n)n∈N_0 genau dann konvergiert, wenn x ∈ [1, e^1/e]

Question

Aufgabe:

Sei x ≥ 1 und (a_n)n∈N_0 ⊂ R gegeben durch a_0 := 1 und a_n := x^a_n−1 für n ∈ N.

Zeigen Sie, dass (a_n)n∈N_0 genau dann konvergiert, wenn x ∈ [1, e^1/e]

Problem/Ansatz:

Durch die Teilaufgabe davor, weiß ich, dass ich zeigen muss:

x = b^1/2 für ein b >= 1 <=> x Element von [1,e^1/e]

Mein Ansatzsatz wäre, die Differenzierbarkeit anzuwenden, ich weiß aber leider nicht weiter.
Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe.