Aufgabe:
Die Folge \((a_{n})_{n∈N}\) ist rekursiv gegeben durch:
\(a_{1}=4\) \(a_{n+1} = 2/a_{n} + a_{n}/2\)
a) Zeige, dass \(a_{n}>2\) für alle n∈N ist.
b) Beweise, dass die Folge streng monoton fallend ist.
c) Erkläre warum die Folge konvergiert. Berechne den Grenzwert.
Problem/Ansatz:
a) Gilt \(a_{n} >2\)?
IA: Für n=1 gilt:
\(a_{2} = 0.5 + 2 = 2.5 > 2\)
IV:
\(a_{n}>2\)
IS:
\(a_{n+1} = 2/a_{n} + a_{n}/2>2\)
Wie mache ich hier weiter? Stimmt das bis dato oder habe ich was falsch gemacht?