Zeige, dass a_n > 2 für alle n∈N ist.

Question

Aufgabe:

Die Folge \((a_{n})_{n∈N}\) ist rekursiv gegeben durch:

\(a_{1}=4\)                     \(a_{n+1} = 2/a_{n} + a_{n}/2\)

a) Zeige, dass \(a_{n}>2\)  für alle n∈N ist.

b) Beweise, dass die Folge streng monoton fallend ist.

c) Erkläre warum die Folge konvergiert. Berechne den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

a) Gilt \(a_{n} >2\)?

IA: Für n=1 gilt:

\(a_{2} = 0.5 + 2 = 2.5 > 2\)

IV:

\(a_{n}>2\)

IS:

\(a_{n+1} = 2/a_{n} + a_{n}/2>2\)

Wie mache ich hier weiter? Stimmt das bis dato oder habe ich was falsch gemacht?

Answer 1

\(a_n-2\gt 0\Rightarrow a_{n+1}-2=2/a_n+a_n/2-2=\)

\(=\frac{4+a_n^2-4a_n}{2a_n}=\frac{(a_n-2)^2}{2a_n}\gt 0\)

Comments

Eine frage zum letzten Schritt bei deiner Rechnung:

\((a_{n}-2)^2/2a_{n}>0\), weil \(a_{n}-2\) jeweils größer ist als 0 oder?

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Ja. Genau ;-) \(\;\;\;\;\)

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Könntest Du mir noch kurz bei der b) helfen?
Da habe ich Folgendes gemacht:

Gilt \(a_{n} \geq a_{n+1}\)?

IA:

\(a_{1} = 4 \geq 2.5 = a_{2} \)

IB:

\(a_{n} \geq a_{n+1} \Longrightarrow a_{n} - a_{n+1} \geq 0\) 

Nun habe ich Folgendes gemacht:

Könntest Du mir hier nochmal kurz helfen? Bin mir nicht sicher wo ich bei der Vollständigen Induktion hauskommen muss bzw. was das Ergebnis sein, muss, damit es bewiesen ist.

Danke Dir schonmal!

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Bei b) benötigst du keine vollständige Induktion.

Du hast es ja bereits richtig gesehen:

\(a_n-a_{n+1}=a_n-2/a_n-a_n/2=a_n/2-2/a_n=\frac{a_n^2-4}{2a_n}\geq 0\)

da \(a_n\geq 2\) nach Teil a).

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Ah also reicht:

\((a_{n}^{2}-4)/2a_{n}\geq 0\) für den Beweis?

Weil \(a_{n}\geq 2\) (wie Du gesagt hast) nach Teil a), ist die Gleichung erfüllt bzw. wahr. Also ist auch die Aussage wahr, dass die Folge streng monoton wachsend ist.