Vektorraum aller Funktionen von M nach K

Question

Problem/Ansatz:

Kennt jemand Beispiele, welche bekannten Funktionen im $$\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$$ Vektorraum liegen und welche bekannten Funktionen als Gegenbeispiel eventuell nicht?

Ist nur eine Verständnisfrage...

Danke für die Hilfe.

Comments

 \( \mathbb R^{\mathbb R} \) ist doch der Vektorraum der Abbildungen \( \mathbb R \to \mathbb R \),

d.h. da liegen z.B. alle Polynomfunktionen drin \( \mathbb R \to \mathbb R, ~x \mapsto \sum_{i=0}^n a_i x^i \)

oder die Exponentialfunktion: \( \mathbb R \to \mathbb R, ~x \mapsto e^x \)

oder Sinus/Cosinus: \( \mathbb R \to \mathbb R, ~x \mapsto \sin(x) \)

etc.

Nicht drin liegt z.B. die Logarithmusfunktion, denn die ist nur auf \( \mathbb R_{>0} \) definiert, oder gebrochenrationale Funktionen wie \( x \mapsto \frac{1}{x-1} \), da diese auch nicht auf komplett \( \mathbb R \) definiert sind.

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Danke, hat mir sehr weitergeholfen - eine Sache verwirrt mich jedoch noch: und zwar dachte ich, dass die e-Funktion auch auch nur auf $$\mathbb{R}_{>0}$$ definiert sei...

also $$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$$

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Jein,

du kannst $$ \mathbb R \to \mathbb R, ~x\mapsto \textrm{e}^x $$ und $$ \mathbb R \to \mathbb R_{>0}, ~ x\mapsto \textrm{e}^x$$

betrachten, die erste Funktion liegt in \( \mathbb R ^{\mathbb R} \) die zweite nicht.

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Ach stimmt die Wertemenge ist ja nicht das Bild der Funktion und so kann ich für die Wertemenge die Menge der positiven reellen Zahlen, sowie aller reeller Zahlen einsetzen(solange das Bild eine Teilmenge der Wertemenge ist)...(Weil an sich ist das Bild von $$e^x$$ ja nie negativ)

Wenn das so richtig ist, habe ich alles verstanden.