Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (dy/dx)=−2⋅y−x+2, y(0)=4

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (dy/dx)=−2⋅y−x+2,         y(0)=4

Problem/Ansatz:

Bitte um Lösungsweg. Hoffe davon kann ich es mir dann herleiten..

Ist ja mithilfe von Vdk und nicht TdV oder?

Answer 1

Hallo,

Ist ja mithilfe von Vdk und nicht TdV oder? Stimmt

Lösung via " Variation der Konstanten"

(dy/dx)=−2⋅y−x+2 | +2y

1) homogene Gleichung:

(dy/dx)+ 2⋅y= 0 ->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dx= -2y

dy/y = -2 dx

ln|y|= -2x +C  | e hoch

|y|=e^(-2x+C) =e^(-2x) *e^c

y= e^(-2x) * ±e^c ;   -->±e^c =C1

yh=C1 *e^(-2x)

2) C1=C(x)

yp=C(x) * e^(-2x) ->Produktregel

yp'= C'(x) * e^(-2x)  -2 C(x) * e^(-2x)


3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(x) muß sich herauskürzen

C'(x)=(-x+2) e^(2x) ->partielle Integration

C(x)=( e^(2x)/4)( 5-2x)

4)

yp= C(x) * e^(-2x) =( e^(2x)/4)( 5-2x) *e^(-2x) =5/4 -x/2

5)y= yh+yp

\( y(x)=c_{1} e^{-2 x}-\frac{x}{2}+\frac{5}{4} \)

6)AWB einsetzen y(0)=4

\( y(x)=\frac{1}{4}\left(11 e^{-2 x}-2 x+5\right) \)