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Gegeben sei die MatrixM=(−abcdb−adccd−abdcb−a)∈K4,4 M=\left(\begin{array}{cccc} -a & b & c & d \\ b & -a & d & c \\ c & d & -a & b \\ d & c & b & -a \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{4,4} M=⎝⎜⎜⎜⎛−abcdb−adccd−abdcb−a⎠⎟⎟⎟⎞∈K4,4Bringen Sie durch Zeilenoperationen bzw. Spaltenoperationen die Matrix M M M in Form (AB0D) \left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D\end{array}\right) (A0BD) und berechnen Sie ihre Determinante
D=∣abcdbadccdabdcba∣D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\\b&a&d&c\\c&d&a&b\\d&c&b&a\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣abcdbadccdabdcba∣∣∣∣∣∣∣∣∣Addiere die zweite Spalte zur ersten, sowie die vierte Spalte zur zweiten:D=∣a+bbc+dda+bac+dcc+dda+bbc+dca+ba∣D=\begin{vmatrix}a+b&b&c+d&d\\a+b&a&c+d&c\\c+d&d&a+b&b\\c+d&c&a+b&a\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+ba+bc+dc+dbadcc+dc+da+ba+bdcba∣∣∣∣∣∣∣∣∣Subtrahiere die erste Zeile von der zweiten, sowie die dritte Zeile von der vierten:D=∣a+bbc+dd0a−b0c−dc+dda+bb0c−d0a−b∣D=\begin{vmatrix}a+b&b&c+d&d\\0&a-b&0&c-d\\c+d&d&a+b&b\\0&c-d&0&a-b\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+b0c+d0ba−bdc−dc+d0a+b0dc−dba−b∣∣∣∣∣∣∣∣∣Vertausche die zweite und dritte Spalte, sowie die zweite und dritte Zeile:D=∣a+bc+dbdc+da+bdb00a−bc−d00c−da−b∣D=\begin{vmatrix}a+b&c+d&b&d\\c+d&a+b&d&b\\0&0&a-b&c-d\\0&0&c-d&a-b\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+bc+d00c+da+b00bda−bc−ddbc−da−b∣∣∣∣∣∣∣∣∣Damit ist die gesuchte Form erreicht und es istD=∣a+bc+dc+da+b∣⋅∣a−bc−dc−da−b∣D=((a+b)2−(c+d)2)⋅((a−b)2−(c−d)2)D=(a+b+c+d)⋅(a+b−c−d)⋅(a−b+c−d)⋅(a−b−c+d).D=\begin{vmatrix}a+b&c+d\\c+d&a+b\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a-b&c-d\\c-d&a-b\end{vmatrix}\\D=\big((a+b)^2-(c+d)^2\big)\cdot\big((a-b)^2-(c-d)^2\big)\\D=(a+b+c+d)\cdot(a+b-c-d)\cdot(a-b+c-d)\cdot(a-b-c+d).D=∣∣∣∣∣a+bc+dc+da+b∣∣∣∣∣⋅∣∣∣∣∣a−bc−dc−da−b∣∣∣∣∣D=((a+b)2−(c+d)2)⋅((a−b)2−(c−d)2)D=(a+b+c+d)⋅(a+b−c−d)⋅(a−b+c−d)⋅(a−b−c+d).
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