Matrix M in Form bringen

Question

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Gegeben sei die Matrix
$$ M=\left(\begin{array}{cccc} -a & b & c & d \\ b & -a & d & c \\ c & d & -a & b \\ d & c & b & -a \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{4,4} $$
Bringen Sie durch Zeilenoperationen bzw. Spaltenoperationen die Matrix \( M \) in Form \( \left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D\end{array}\right) \) und berechnen Sie ihre Determinante

Answer 1

$$D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\\b&a&d&c\\c&d&a&b\\d&c&b&a\end{vmatrix}$$Addiere die zweite Spalte zur ersten, sowie die vierte Spalte zur zweiten:$$D=\begin{vmatrix}a+b&b&c+d&d\\a+b&a&c+d&c\\c+d&d&a+b&b\\c+d&c&a+b&a\end{vmatrix}$$Subtrahiere die erste Zeile von der zweiten, sowie die dritte Zeile von der vierten:$$D=\begin{vmatrix}a+b&b&c+d&d\\0&a-b&0&c-d\\c+d&d&a+b&b\\0&c-d&0&a-b\end{vmatrix}$$Vertausche die zweite und dritte Spalte, sowie die zweite und dritte Zeile:$$D=\begin{vmatrix}a+b&c+d&b&d\\c+d&a+b&d&b\\0&0&a-b&c-d\\0&0&c-d&a-b\end{vmatrix}$$Damit ist die gesuchte Form erreicht und es ist$$D=\begin{vmatrix}a+b&c+d\\c+d&a+b\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a-b&c-d\\c-d&a-b\end{vmatrix}\\D=\big((a+b)^2-(c+d)^2\big)\cdot\big((a-b)^2-(c-d)^2\big)\\D=(a+b+c+d)\cdot(a+b-c-d)\cdot(a-b+c-d)\cdot(a-b-c+d).$$