Die Aufgabe lautet:
Die Quadrik \(Q\) sei gegeben durch:
\(Q=\{x \in \mathbb{R}^3 \vert x_1^2-x_2^2-4x_1+2x_2+2x_3+3=0\)
a) Geben sie die Matrixbeschreibung an.
Diese habe ich wie folgt bestimmt: \(A_erw= \left[\begin{array}{c|ccc} 3&-2&1&1 \\ \hline -2&1&0&0\\1&0&-1&0\\1&0&0&0 \end{array}\right]\)
b) Bestimmen sie die euklidische Normalform und die Gestalt von \(Q\)
Aus der Matrix A erhielt ich die Eigenwerte \( \lambda_1=1, \lambda_2=-1 \) und \( \lambda_3=0 \) und daraus die Eigenvektoren \( v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \) und \(v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\)
Aus der Multiplikation \(Q=y^TF^TAFy+2a^TFy+c\) erhalte ich Q bezüglich F: \(y_1^2-y_2^2-2y_1+y_2+y_3=0\)
Nun zum wichtigen Teil. Ich sollte hier ja quadratisch ergänzen, wie es uns bei gebracht wurde, aber was mache ich, wenn wie in diesem fall kein \(y_3^2\) vorhanden ist? Wie kommt man hier weiter auf die korrekte euklidische Normalform?
c) Welche der folgenden Konfigurationen können als Schnitt von \(Q\) mit einer Ebene entstehen? Geben sie jeweils ein Beispiel für eine solche Ebene.
- Ellipse
- Hyperbel
- Parabel
Folgt die Antwort auf diese Frage der Gestalt von \(Q\)? Wie folgere ich das?
