Eine Variable als Quantor, die andere nicht. Was bedeutet dies?

Question

Guten Tag zusammen

Ich habe ein kleines Verständnis Problem. Ich verstehe die Quantoren in der folgenden Ausführung nicht so genau.

N= Natürliche Zahlen
Z= Ganze Zahlen

Das Universum für die Variable x ist N, für die Variable y ist das Universum Z.

R(y) : ∃x : y³ = x + 1

Dies muss ich so interpretieren: Es gibt mindestens ein x (Natürliche Zahl), dass ich die Gleichung erfüllen kann.

R(y) : ∀x : y³ = x + 1

Jetzt was würde, dass hier bedeuten? Wie muss ich dies interpretieren? Z.B. Für jedes X muss die Gleichung wahr werden. Dies stimmt doch auch oder? Was bedeutet R(y) und was muss ich dort einsetzen? Heisst das, dass ich hier jede ganze Zahl "y" erreichen muss?

Vielen Dank im Voraus!

LG
Pfizer

Answer 1

In deinem ersten Beispiel wird eine Eigenschaft R definiert, welche für gewisse ganzzahligen Werte y wahr, für andere falsch sein kann. Die Definition besagt:  Die Eigenschaft R ist für eine ganze Zahl y dann erfüllt, wenn es eine natürliche Zahl x gibt, so dass y³ = x + 1  gilt. Für negative y-Werte ist diese Gleichung natürlich für keine natürliche Zahl x (x≥0)  erfüllt, denn y³ ist für negatives y auch negativ. Für y=0 passt es auch noch nicht, sondern erst für y=1 oder y>1 (und dann gibt es immer eine passende natürliche Zahl x, welche die Gleichung erfüllt). Die Erfüllungsmenge der Aussageform R(y) besteht also nur aus den positiven ganzen Zahlen.

Die zweite Eigenschaft (ich würde sie gerne mit einem anderen Buchstaben als R bezeichnen !!!)  würde von der Zahl y verlangen, dass y³ jeder positiven natürlichen (bzw. auch ganzen) Zahl gleich sein soll. Das ist offensichtlich einfach absolut unmöglich. Die Erfüllungsmenge für diese zweite Aussageform ist also einfach die leere Menge !

Comments

rumar

Danke vielmals für deine Antwort. Habe ich das richtig verstanden, dass bei der Gleichung "R(y) : ∃x : y³ = x + 1" suche ich nur nach einer natürlichen Zahl x, damit die Gleichung wahr wird?

Bei der Gleichung "R(y) : ∀x : y³ = x + 1" müsste durch den Allquantor jede ganze Zahl y eine natürliche Zahl x ergeben oder heisst es: es müsste durch den Allquantor jede ganze Zahl y jede natürliche Zahl x ergeben?

Vielen Dank im Voraus!

LG
Pfizer