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In dieser Aufgabe wollen wir die Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen aus der \( 11 . \) Vorlesung vervollständigen. Zu diesem Zweck betrachten wir zuerst einmal ein beliebiges aber festes \( a \in \mathbb{Z} \) und die Definition von Folie 5 der 11 . Vorlesung, d. h. wir betrachten die eindeutige Abbildung \( f_{a}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) mit \( f_{a}(0)=0 \) und \( f_{a}(k+1)=f_{a}(k)+a \) für alle \( k \in \mathbb{N} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( f_{a}(k+l)=f_{a}(k)+f_{a}(l) \) für alle \( k, l \in \mathbb{N} \).
Aufgrund von Teilaufgabe (a) und der universellen Eigenschaft von Z existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus \( \mu_{a}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) mit \( \mu_{a} \circ i=f_{a} . \) Hierbei bezeichne \( i: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) natürlich die kanonische Inklusion der natürlichen in die ganzen Zahlen.
(b) Zeigen Sie, dass \( \mu_{a}(b)=a \cdot b \) für alle \( a, b \in \mathbb{Z} \). Dabei sei für \( a=\left[m_{1}, n_{1}\right] \in \mathbb{Z} \) und \( b=\left[m_{2}, n_{2}\right] \in \mathbb{Z} \) die ganze Zahl \( a \cdot b \) auf der rechten Seite der Gleichung wie auf Folie 3 der \( 11 . \) Vorlesung als
$$ a \cdot b=\left[m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}, m_{1} n_{2}+m_{2} n_{1}\right] $$
definiert.
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Aufgabe 1 (4 Punkte) In dieser Aufgabe wollen wir die Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen aus der 11 . Vorlesung vervollständigen. Zu diesem Zweck betrachten wir zuerst einmal ein beliebiges aber festes \( a \in \mathbb{Z} \) und die Definition von Folie 5 der 11 . Vorlesung, d. h. wir betrachten die eindeutige Abbildung \( f_{a}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) mit \( f_{a}(0)=0 \) und \( f_{a}(k+1)=f_{a}(k)+a \) für alle \( k \in \mathbb{N} \).
(a) Zeigen Sie, dass \( f_{a}(k+l)=f_{a}(k)+f_{a}(l) \) für alle \( k, l \in \mathbb{N} \).
Aufgrund von Teilaufgabe (a) und der universellen Eigenschaft von \( \mathbb{Z} \) existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus \( \mu_{a}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) mit \( \mu_{a} \circ i=f_{a} . \) Hierbei bezeichne \( i: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) natürlich die kanonische Inklusion der natürlichen in die ganzen Zahlen.
(b) Zeigen Sie, dass \( \mu_{a}(b)=a \cdot b \) für alle \( a, b \in \mathbb{Z} \). Dabei sei für \( a=\left[m_{1}, n_{1}\right] \in \mathbb{Z} \) und \( b=\left[m_{2}, n_{2}\right] \in \mathbb{Z} \) die ganze Zahl \( a \cdot b \) auf der rechten Seite der Gleichung wie auf Folie 3 der \( 11 . \) Vorlesung als
$$ a \cdot b=\left[m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}, m_{1} n_{2}+m_{2} n_{1}\right] $$
definiert.
