Vollständige Induktion Term vereinfachen

Question

Problem mit der Umformung diese Termes:

\( \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)+6(n+1)^{2}}{6}=\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+1)+6(n+1))}{6} \)

Ich verstehe nicht wie es dazu kommet das 6(n+1)²in die doppelte Klammer eingefasst wird.

Kann mir da jemand helfen, es wird bestimmt eine Regel etc. geben.

Answer 1

Hi,

ich lass mal den Nenner weg:

n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2 = n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1)

Nun (n+1) ausklammern:

(n+1)*[n(2n+1) + 6(n+1)]

 

Klar? :)

Grüße

Comments

Ich würde es so verstehen wenn ich es ausklammere dann hätte ich doch auch bei (2n+1) den Wert multipliziert mit (n+1).


Sorry steh grad aufm Schlauch....Es ist lange her mit der Schule

---

Nein, das ist das sogenannte Distributivgesetz:

a*b + a*c = a(b+c)

Bei uns ist halt b = n*(2n+1) und c = 6(n+1)


Du erinnerst Dich?

---

das Problem ist ich mache gerade ein Fernstudium in E-Technik und habe vorher nur Mathematik bis zur 10 Klasse gehabt. Ich versuche mir gerade alles selber mit den Heften und dem Internet anzueignen.

Das Distributivgesetz habe ich schon kennengelernt.

Aber ich erkenne bei solchen Termen nicht direkt ob ich es anwenden kann oder nicht....

\( \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)+6(n+1)^{2}}{6}=\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+1)+6(n+1))}{6} \)

Eine Frage noch das ich dann von diesem Term

\( =\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+7 n+6\right)}{6} \)

zu diesem "End" Term komme

\( \frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} \)

ist auch wieder das Distributivgesetz?

Vielen Dank schon mal das ist mir eine große Hilfe und ich komme im Stoff vorran....

---

Sobald Du in Summanden den gleichen Faktor hast, kannst Du ausklammern.

Hier war der gleiche Faktor (n+1).

Das zu sehen kommt mit der Übung ;).

 

-------------------------------

Nein, hier würde mir nicht als erstes das Distributivgesetz einfallen.

Hier willst Du von der zweiten Klammer die Linearfaktoren finden. Das bedeutet, dass Du den zweiten Term 0 setzt und die Nullstellen als Faktorisierung nimmst:

2n^2+7n+6 = 0   |:2

n^2+3,5n+3 = 0  |pq-Formel

n₁ = -2

n₂ = -3/2

 

Nun das als Faktoren schreiben: (n+2)*(n+3/2)

Wir hatten aber zur Nullstellenbestimmung zuvor durch 2 dividiert. Das muss wieder rückgängig gemacht werden:

2*(n+2)(n+3/2)

(Leicht zu überprüfen, dass das notwendig ist, da man ohne die 2 nur auf n^2 kommt, aber nicht wieder auf 2n^2!)

Die 2 in die letzte Klammer:

(n+2)(2n+3)

 

Und das ist genau das von Dir gewünschte :).

---

Wenn ich in den Summanden den gleichen Faktor habe klammere ich auch den kompletten Ausdruck ein??

Ok ansonsten alles super gut verständlich erklärt vielen vielen Dank nochmal

---

Ja so ist es. Es gilt ja Punkt vor Strichrechnung. Du würdest also nicht richtig multiplizieren/rechnen!