Bestimmen Sie die Kritischen Stellen von f in [0,∞[ . und min max

Question

Aufgabe:

f : [0,∞[  → ℝ,   f(x) = (x² - 2) e^-2x

Ich habe folgendes Problem
Die Aufgabenstellungen lauten.

a) Bestimmen Sie die Kritischen Stellen von f in [0,∞[ .

b) Zeigen Sie, dass f beschränkt ist.

c) Bestimmen Sie max { f(x) | 0 ≤ x } und min { f(x) | 0 ≤ x }

Ich hätte jetzt an erster Stelle gedacht, dass ich bei der a) die Erste Ableitung rechnen muss und dann dort die Nullstellen finden muss. Somit erhalte ich x = -1 und x = 2

Da -1 nicht in unserem Intervall ist, ist meine einzige Kritische Stelle x = 2

Was muss ich nun bei c) machen? Das verstehe ich nicht, da ich so wie ich verstanden habe, die c) bereits bei a) gelöst habe. Ich verstehe den genauen Unterschied zwischen "Kritische Stellen" und "min, max" nicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

\( f(x)=\left(x^{2}-2\right) \cdot e^{-2 x}=\frac{x^{2}-2}{e^{2 x}} \)
\( f \cdot(x)=\frac{2 x \cdot e^{2 x}-\left(x^{2}-2\right) \cdot 2 \cdot e^{2 x}}{\left(e^{2 x}\right)^{2}}=\frac{2 x-\left(x^{2}-2\right) \cdot 2}{e^{2 x}} \)
\( 2 x-\left(x^{2}-2\right) \cdot 2=0 \)
\( x^{2}-x=2 \)
\( \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} \mid \sqrt{ } \)
1.) \( x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \)
\( x_{1}=2 \rightarrow f(2)=\ldots \)
2.) \( x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2} \)
\( x_{2}=-1 \rightarrow f(-1)=\ldots \)
Laut \( D \) ist nun \( x=1 \) eine kritische Stelle. Man braucht hier nicht beantworten, ob es sich um ein Maximum Minimum oder einen Sattelpunkt handelt.
Bei \( c \) ) wird nun speziell danach gefragt, was es denn nun ist:
\( f^{\prime}(x)=\frac{(2-4 x) \cdot e^{2 x}-\left(2 x-2 x^{2}+4\right) \cdot 2 \cdot e^{2 x}}{\left(e^{2 x}\right)^{2}}= \)
\( =\frac{(2-4 x)-\left(2 x-2 x^{2}+4\right) \cdot 2}{e^{2 x}}=\frac{(2-4 x)-\left(2 x-2 x^{2}+4\right) \cdot 2}{e^{2 x}} \)
\( f^{\prime} \cdot(1)<0 \rightarrow \) Maximum

Minimum in dem Bereich ist nun m.E. der Schnittpunkt mit der y-Achse

f(0)=(0-2)*\( e^{-2*0} \)=-2