Differentialgleichungen der ersten Ordnung - Typ 1 bis 3

Question

Hallo :-)

Ich muss Differentialgleichungen lösen, jedoch habe ich gar keinen Plan, wie ich überhaupt anfangen soll.

Kann mir jemand anhand einer Aufgabe erklären, wie genau ich diese berechnen soll und wie ich die verschiedenen Typen erkenne?

Typ 1) y' = f(x)  → y(x) = F(x) + c

Typ 2) y' = a(x) * y  → y(x) c * e\( x^{A(x)} \)

Typ 3) y' = a(x) y + b(x)   → y(x) = e\( x^{A(x)} \) * (Integral) e \( x^{-A(x)} \) b(x) dx

Lösen Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen vom Typ I, II und III. Prüfen sie das Ergebnis, indem Sie für die gefundene Funktion y nachrechnen.
a) y' = \( x^{2} \) + cos(x)

b) y' = \( x^{2} \) + y

c) y' = y + e^-\( \frac{x^2}{2} \) - xy

d) y' = 2xy + \( e^{x} \)^2

e) y' = y/x

Answer 1

Hallo,

a) y'= x^2 +cos(x)

Typ 1) y' = f(x)  → y(x) = F(x) + c

Du vergleichst die linke Seite der Aufgabe mit der linken Seite des Typ1 und analog die rechte Seite und stellst Übereinstimmung fest.

y'= x^2 +cos(x)

dy/dx=  x^2 +cos(x) |*dx

dy= ( x^2 +cos(x)) dx

beide Seiten integrieren:

∫dy= ∫( x^2 +cos(x)) dx

y= x^3/3  +sin(x) +C₁

_{Prüfen sie das Ergebnis, indem Sie für die gefundene Funktion y nachrechnen.}

_{Hier muß Du das Ergebnis 1 Mal ableiten und y' in die Aufgabe einsetzen,}

_{Es muß die linke Seite = rechten Seite sein:}

_{y= x^3/3  +sin(x) +C1}

_{y'= x^2 +cos(x)}

_{-------->eingesetzt:}

_{x^2 +cos(x) =x^2 +cos(x)  ->Ergebnis stimmt}