Question

Wie kann ich die folgenden Differentialgleichungen lösen:

1)        y'= 5 + x+ (5+x) y

2)   (x²+1) y' + 2xy= sin(x)

Comments

y'=5+x+(5+x)y

y'=(5+x)(1+y)

dy/dx=(5+x)(1+y)

1/(1+y)dy=(5+x)dx

und dann auf beiden Seiten integrieren

Answer 1

Zu 2.) Ansatz mit homogener \(y_h\) und partikulärer Lösung \(y_p\), also \(y=y_h+y_p\).

Dann hast du erstmal nach \(y'\) umgestellt und etwas sortiert eine lineare DGL 1. Ordnung: \(y'=\underbrace{-\frac{2x}{x^2+1}}_{=:f(x)}+\underbrace{\frac{\sin(x)}{x^2+1}}_{=:g(x)}\cdot y\).

Homogene Lösung:

\(y_h=c\cdot e^{\int \ f(x)\ dx}=...=c\cdot \frac{1}{x^2+1}\).

Partikuläre Lösung:

\(y_p=y_h\cdot \int \ \frac{g(x)}{y_h}\ dx=...=-\frac{\cos(x)}{x^2+1} \)

Jetzt nur zusammensetzten und fertig: \(y=y_h+y_p=\frac{c}{x^2+1}-\frac{\cos(x)}{x^2+1}\).

Answer 2

Hallo,

Aufgabe 2)

Lösung als exakte DGL auch möglich:

(x^2+1) y' + 2xy= sin(x)

(x^2+1) y' + 2xy - sin(x) =0

(x^2+1) dy/dx + 2xy - sin(x) =0 |*dx

(x^2+1) dy+ 2xy dx - sin(x) dx=0

P=2xy -sin(x)    ; Q= x^2+1

P_y= 2x             ;Q_x= 2x

------->P_y=Q_x --------->exakte DGL

F(x,y)= ∫ P(x,y) dx =∫2xy -sin(x) dx= yx^2 +cos(x)

F(x,y)= yx^2 +cos(x)+φ(y)

x^2 +φ'(y)=Q=x^2+1

φ'(y)=Q=1

φ(y)=y

----->

yx^2 +cos(x) +y=C

y=(C-cos(x))/(x^2+1)