Umformung eines Integrals mit Cosinus und Verschiebung der Grenzen

Question

allerseits,

bei einem Lösungsweg wird ein Integral umgeformt. Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wie das genau funktioniert.

Die -1 aus (x-1)² wandert anscheinend in den Cosinus und verschiebt die Grenzen des Integrals.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mich jemand erhellen könnte, welche Schritte hier genau vollzogen wurden, um von der linken Seite zur Rechten zu gelangen.

\( \int\limits_{0,5}^{1} \)(x-1)² cos(2πnx) dx =  \( \int\limits_{-0,5}^{0} \)x² cos(2πnx + 2πn) dx

und einen schönen Abend!

Answer 1

Da ist einfach die Substitutionsregel angewendet worden.

Mit der Substitution z= x-1  bzw. x = z+1

da wird aus (x-1)^2 dann z^2 und aus

cos(2πnx) = cos(2πn(z+1))= cos(2πnz+2πn))

und die Grenzen werden:

Für x=0,5  ist es z = 0,5-1 = -0,5

und bei x=1  z = 1-1 = 0

Und aus dx wird dz denn dz/dx = (x-1) ' = 1 .

Also müsste es heißen: \( \int\limits_{-0,5}^{0} \)z^2 cos(2πnz + 2πn) dz

Und da hat sich der Autor gedacht: "Namen sind

Schall und Rauch ." ich schreibe wieder x statt z.

Comments

Vielen Dank! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht! :)