Beweise, dass sich die Determinante einer nxn Matrix M durch Entwicklung nach einer Zeile bestimmen lässt

Question

Aufgabe:

Beweise, dass sich die Determinante einer nxn Matrix M durch Entwicklung nach einer Zeile bestimmen lässt

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, ich gehe in der Aufgabe von drei Eigenschaften aus, die die Determinantenfunktion definiert:

1. Linearität

2. Rang(M)<n → Det(M)=0

3. Det(I)=1   mit I=Einheitsmatrix

Das ist die zugrundeliegende Formel:

Nun geht es im Beweis darum zu zeigen, dass die 3 genannten Kriterien erfüllt sind. Im Beweis wird die Formel nur für i=1 bewiesen, wobei i für die Zeile steht, um die es geht. Mir geht es jetzt um den Beweis des 2. Punktes. Der Beweis baut darauf auf, dass die Zeilen und Spalten von M linear abhängig sind, wenn der Rang von M < n. Jetzt kommt der entscheidende Punkt: Der Beweis geht damit weiter, dass wir oBdA annehmen können, dass M zwei gleiche Spalten hat. Aber linear abhängig bedeutet doch nicht zwei gleiche Spalten. Wieso darf man bei einem derartigen Beweis so vorgehen?

Answer 1

Hallo,

da steckt wohl noch eine Überlegung dahinter: Wie Du richtig sagst, ist die Annahme zunächst, dass eine Spalte - sagen wir \(a_k\) - linear abhängig ist von den anderen, also etwa

$$a_k=\sum_{i \neq k} s_i a_i$$

Wenn Du jetzt die Determinante von A berechnest, ersetzt Du \(a_k\) durch diese Summe, verwendest die Multi-Linearität von Determinanten und erhältst eine Summe von Determinanten - und jetzt sind in jeder dieser Determinanten 2 Spalten gleich.

Deshalb reicht dieser Sonderfall für den allgemeinen Fall.

Gruß

Comments

oh man, klar. das ergibt total sinn. Ich danke dir!