dy/dx=3y-4x+4,y(0) =4

Question

Aufgabe:(dy)/(dx)=3*y-4*x+4, y(0) =4

Problem/Ansatz: Lösung des Anfangswertproblems. Dabei gilt, die Lösung von y´1 = y, y(0) = 1 muss eingegeben werden als [y=exp(x)]

Answer 1

Hallo,

(dy)/(dx)=3*y-4*x+4, y(0) =4

1) dy/dx -3y =0 ->homogene DGL

dy/dx = 3y
dy/y= 3 dx

ln|y|= 3x+C | e hoch

|y|= e^(3x+C) = e^(3x) *e^C

y= e^(3x) * ± e^C ---------->± e^C = C1

yh=C₁ * e^(3x)

2) C1=C(x)

yp=C(x) * e^(3x) ->Produktregel
yp'= C'(x) * e^(3x)  +C(x) *3 e^(3x)

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(x) muß sich herauskürzen

C'(x)= (-4x+4) e^(-3x) ->partielle Integration

C(x)= (4/9) e^(-3x) (3x-2)

4)

yp= C(x) * e^(3x) =(4/9) e^(-3x) (3x-2) *e^(3x) =(4/9) (3x-2) 

5)y= yh+yp

Lösung:

\( y(x)=c_{1} e^{3 x}+\frac{4 x}{3}-\frac{8}{9} \)

6)AWB einsetzen : y(0) =4

\( y(x)=\frac{4}{9}\left(3 x+11 e^{3 x}-2\right) \)