Aloha :)
Die Funktion$$f(x)=(x-1)^2-1=x^2-2x=x(x-2)$$schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=0\) und bei \(x=2\). Dazwischen ist \(f(x)<0\). Wir müssen also \(a\) so bestimmen, dass gilt:
$$\left.-\int\limits_0^2f(x)dx=\int\limits_2^af(x)dx\quad\right.$$Das Minuszeichen auf der linken Seite kommt daher, weil das Integral unterhalb der \(x\)-Achse negativ ist, wir aber die Flächen gleichsetzen müssen. Addieren wir auf beiden Seiten das linke Integral erhalten wir:
$$0=\int\limits_0^2f(x)dx+\int\limits_2^af(x)dx=\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_0^a(x^2-2x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^a$$$$\phantom{0}=\frac{a^3}{3}-a^2=a^2\left(\frac{a}{3}-1\right)=\frac{1}{3}a^2\left(a-3\right)$$Die Lösung \(a=0\) scheidet aus, weil wir ja ein \(a\ge2\) suchen, also bleibt \(a=3\) als Lösung übrig.
