Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg?

Question

Aufgabe:

Seien A und B zwei verschiedene Matrizen aus dem K nxn. Sei B eine Matrix mit nicht vollem Rang, bspw. Rang(B)=r<n. Beweise, dass dann Bild(AB) eine Teilmenge von Bild (B) ist.

Problem/Ansatz:

Ich versuche gerade den Beweis des Multiplikationssatzes für Matrizen zu verstehen und komme an dieser Stelle nicht weiter. Ich verstehe einfach nicht, wieso man so einfach sagen kann, dass die Aussage gilt. Anscheinend ist die Sache ganz einfach; im Beweis wird das sozusagen als trivial angenommen :D :/

Answer 1

Bild(AB) eine Teilmenge von Bild (B)

Das stimmt unter den von dir genannten Voraussetzungen nicht.

Beispiel.

        \(A = \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\)

        \(B = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)

Dann ist

        \(B\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)    und    \(B\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)

also

        \(\operatorname{Bild} B = \left\langle\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\rangle\)

aber

        \(A\cdot B\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\notin \operatorname{Bild} B\).

Comments

hmm, dann muss ich wohl irgendetwas am Beweis falsch verstanden haben. Danke dir!