Hallo Kathi,
Vielleicht sieht das alles schlimmer aus als es ist, ..
Ja tatsächlich! Nehmen wir den ersten Summanden:$$-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 6} = -\frac 1{\sqrt 2} = - \sqrt{\frac 12}$$Nun weißt Du vielleicht, dass $$a + ib = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r\cdot e^{i \varphi}, \quad r = \sqrt{a^2+b^2}$$und hier ist doch nun$$a=b = -\sqrt{\frac 12} \implies r=1 \\ \implies \cos \varphi = \sin \varphi = - \sqrt{\frac 12} \implies \varphi = -\frac 34 \pi$$was man am leichtesten sehen kann, wenn man sich das am Einheitskreis verdeutlicht
Wenn man in einem Einheitskreis einzeichnet, wo der Cosinus (rot) und der Sinus (gelb) den Wert von \(-\sqrt{1/2}\) einnehmen, kommt man zu obigen Bild. Wenn man das dort sichtbare Quadrat ergänzt, wird deutlich, dass beide Strecke jeweils die halbe Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(1\) sind.
Der zugehörige Winkel \(\varphi\) (blau) ist genau \(3/4\) eines Halbkreises in negativer Drehrichtung. Also$$\varphi= - \frac 34 \pi$$Wenn man nun noch weiß, dass $$e^{i2\pi} = 1$$ ist (das ist der Vollkreis) dann wird aus der Aufgabe$$\begin{aligned} \left( \frac{-\sqrt 3}{\sqrt 6} - i \sqrt{\frac 12}\right)^{2016}&= \left( -\sqrt{\frac 12} - i \sqrt{\frac 12}\right)^{2016} \\ &= \left( \cos\left( -\frac 34 \pi\right) + i \sin\left( -\frac 34 \pi\right)\right)^{2016} \\&= \left( e^{-3\pi/4}\right)^{2016} \\&= e^{-1512 \pi} \\ &= \left( e^{2\pi}\right)^{-756} \\&= 1^{-756} \\&= 1\end{aligned}$$
