Bestimmen Sie F(e1), F(e2) und F(e3).

Question

Aufgabe:

Sei \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung mit \( \mathbf{f}_{1}=F\left(\mathbf{m}_{1}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{f}_{2}=F\left(\mathbf{m}_{2}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \) und \( \mathbf{f}_{3}=F\left(\mathbf{m}_{3}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) . \)

mit \( \mathbf{m}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{m}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( \mathbf{m}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \),
(a) Stellen Sie \( \mathbf{e}_{1}=(1,0,0)^{T}, \mathbf{e}_{2}=(0,1,0)^{T} \) und \( \mathbf{e}_{3}=(0,0,1)^{T} \) als Linearkombination von \( \mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{2}, \) und \( \mathbf{m}_{3} \) dar.
(b) Bestimmen Sie \( F\left(\mathbf{e}_{1}\right), F\left(\mathbf{e}_{2}\right) \) und \( F\left(\mathbf{e}_{3}\right) \).

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man die (b)? Ich weiß gar nicht was man damit machen soll.. was ist mit F() gemeint?

Comments

Normalerwiese ist \(F\) eine Abbildungsvorschrift, das könnte z.B. eine Matrix sein. Ist so etwas in der Aufgabenstellung angegeben?

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Nein da steht gar nichts leider..

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Ich habe die komplette aufgabestellung reingestellt.. wissen Sie wie es geht?

Answer 1

Aloha :)

Ja, damit kann ich was anfangen.

(a) Hier sollen wir die Vektoren \(\vec e_i\) durch die Vektoren \(\vec m_i\) darstellen:$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=-\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

(b) Wir wissen, dass \(F\) eine lineare Abbildung ist, die wir durch eine Matrix \(F\) ausdrücken können. Wir kennen \(3\) Funktionswerte:

$$F\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\;;\;F\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;;\;F\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Diese drei Gleichungen fassen wir zu einer Matrix-Gleichung zusammen:

$$F\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}$$Die Matrix \(F\) erhalten wir durch Multiplikation mit der Inversen von rechts:

$$F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}$$Wegen Teil (a) brauchen wir die Inverse gar nicht groß auszurechnen, sondern können sie anhand der Koeffizienten direkt ablesen:

$$F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{4}{3}\\[0.5ex]\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Jetzt brauchen wir nur noch die Einheitsvektoren auf die Matrix \(F\) anzuwenden. Das ist aber einfach, weil der \(i\)-te Einheitsvektor genau die \(i\)-te Spalte aus der Matrix liefert:

$$F(\vec e_1)=\left(\begin{array}{r}\frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3}\end{array}\right)\quad;\quad F(\vec e_2)=\left(\begin{array}{r}-\frac{1}{3}\\[0.5ex]\frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{4}{3}\end{array}\right) \quad;\quad F(\vec e_3)=\left(\begin{array}{r}\frac{4}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Comments

Dankeschön! :)