Zeigen Sie, dass für a, b, c \in R und a \ 0 aus a b=a c bereits b=c folgt.

Question

Text erkannt:

Es sei \( R \) ein Integritätsbereich.
(a) Zeigen Sie, dass für \( a, b, c \in R \) und \( a \neq 0 \) aus \( a b=a c \) bereits \( b=c \) folgt.
(b) Nun sei \( S \subseteq R \) eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge mit \( 0 \notin S \) und \( 1 \in S \). Weiter bezeichne \( , \sim \sim \) die Äquivalenzrelation
$$ (a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \quad: \Longleftrightarrow \quad \exists s \in S: s\left(a b^{\prime}-a^{\prime} b\right)=0 $$
auf der Menge \( R \times S \) aus der Vorlesung. Zeigen Sie, dass die Äquivalenzrelation \( , \sim \sim \) in diesem Fall durch
$$ (a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad a b^{\prime}-a^{\prime} b=0 $$
gegeben ist.
(c) Zeigen Sie, dass in der Situation von Teilaufgabe (b) die kanonische Abbildung \( R \rightarrow R\left[S^{-1}\right. \) ] injektiv ist.
(d) Zeigen Sie, dass für \( S=R \backslash\{0\} \) der Ring \( R\left[S^{-1}\right] \) ein Körper ist.

Answer 1

a)   Sei a≠0 . Dann gilt   ab = ac <=>   ab-ac = 0  <=> a*(b-c) = 0

Da R ein Integritätsbereich ist, also keine Nullteiler hat, folgt

                                      a=0  oder  b-c=0

wegen der Vor. also     b-c=0  <=>   b=c