Abbildungsanalyse mit Polynomen

Question

Aufgabe:

Sei R_k [x] der Unterraum R[x] der Polynome mit Grad kleiner oder gleich k. Sei f : R₂[x] 7→ R₂[x] die Abbildung f(ax² + bx + c) =
(a + c)x² + (b + c)x.

• Zeigen Sie, dass die Abbildung linear ist.
• Liegen x² − x − 1 und x² + x − 1 in dem Kern von f?
• Liegen 2x² − x und x² − x + 2 in Bild(f)?
• Finden Sie eine Basis von Kern(f) und eine von Bild(f).
Problem/Ansatz:

Hallo ihr Lieben!

Wie würdet ihr diese Aufgabe angehen? Ich komm einfach nicht weiter

Answer 1

Hallo

Linearität rechnen man immer einfach nach . f(a1x^2+b1x+c1+a2x^2+b2x+c2)=f(a1x^2+b1x+c1)+f(a2x^2+b2x+c2)

und f(r*(a1x^2+b1x+c1))=r*f(a1x^2+b1x+c1)

im Kern? f darauf anwenden falls f=0 ja, sonst nein

im Bild? kannst du a,b,c so wählen dass f = 2x^2 − x also a+c=2  b+c=-1

Gruß ledum