Kern von Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Kern von Matrix berechnen

Problem/Ansatz:

Hallo, hier meine Matrix:

A = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Nun soll ich davon den Kern bestimmen, und zwar als Erzeugendensystem von drei Vektoren: <..., ...., ...>

Wie kann ich da vorgehen?

Answer 1

Der Kern ist die Lösungsmenge der Gleichung \(A\cdot \vec{x} = \vec{0}\).

Löse also die Gleichung \(A\cdot \vec{x} = \vec{0}\) um den Kern zu bestimmen.

Comments

Hallo, ja, das ist bei mir ja das Problem. Ich bekomm dann ein Gleichungssystem mit sechs Variablen. Oder kann ich mit Gauss irgendwie die Matrix vereinfachen? Und wie komme ich dann auf die drei Vektoren?

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Hallo,

die Matrix ist schon im Gauss-Endstadium. Du brauchst nur noch in Deinem Skript nachschlagen, wie man dann alle Lösungen des Gleichungssystem Ax=0 aufschreibt. Wenn Du darin nicht die gesuchten Vektoren herausfiltern kannst, schreibst Du Deine Lösung hierhin und jemand wird Dir helfen.

Gruß

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Fachbegriff für Gauss-Endstadium ist übrigens Zeilenstufenform :-)

Die Matrix ist auch sogar in reduzierter Zeilenstufenform, weil anscheinend Herr Jordan mitgearbeitet hat.

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"Fachbegriff für Gauss-Endstadium ist übrigens Zeilenstufenform :-)"

Jau, aber "Gauss-Endstadium" signalisiert klarer: Ich habe fertig :-)

Answer 2

Aloha :)

Da ich denke, dass dir noch nicht wirklich geholfen wurde, versuche ich mal eine Antwort...

Zur Angabe des Kerns musst du folgende Gleichung lösen:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 5 & 0 & 4 & 8\\0 & 1 & 3 & 0 & 4 & 2\\0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Jetzt hast du in der Koeffizientenmatrix schon 3 "besondere" Spalten, die genau eine Eins enthalten und sonst nur Nullen. Daher kannst du die Lösungen sofort ablesen. Damit du das erkennst, scheiben wir das Gleichungssystem mal aus:$$1\cdot x_1+0\cdot x_2+5\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+8\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+1\cdot x_2+3\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+2\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+1\cdot x_4+3\cdot x_5+1\cdot x_6=0$$

Jetzt rahmen wir die Einsen aus den 3 "besonderen" Spalten mal ein:$$\boxed{1}\cdot x_1+0\cdot x_2+5\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+8\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+\boxed{1}\cdot x_2+3\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+2\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+\boxed{1}\cdot x_4+3\cdot x_5+1\cdot x_6=0$$und stellen die 3 Gleichungen so um, dass nur diese eingerahmten Werte links stehenbleiben:$$\boxed{1}\cdot x_1=-5\cdot x_3-4\cdot x_5-8\cdot x_6$$$$\boxed{1}\cdot x_2=-3\cdot x_3-4\cdot x_5-2\cdot x_6$$$$\boxed{1}\cdot x_4=-3\cdot x_5-1\cdot x_6$$

Damit können wir nun alle Vektoren aus dem Kern hinschreiben:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\cdot x_3-4\cdot x_5-8\cdot x_6\\-3\cdot x_3-4\cdot x_5-2\cdot x_6\\x_3\\-3\cdot x_5-1\cdot x_6\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-5\\-3\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-4\\-4\\0\\-3\\1\\0\end{pmatrix}+x_6\begin{pmatrix}-8\\-2\\0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die drei Spaltenvektoren hinter \(x_3\), \(x_5\) und \(x_6\) bilden zusammen eine Basis des Kerns und damit auch ein Erzeugendensystem des Kerns.